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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.4722222222222222

r=0.4722222222222222

この級数の和は次のようになります:

s = 265

s=265

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{n - 1}

a_n=180*0.4722222222222222^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

180, 85, 40.138888888888886, 18.954475308641975, 8.950724451303154, 4.226730990893156, 1.9959563012551012, 0.9425349200371312, 0.4450859344619786, 0.21017946905148988

180,85,40.138888888888886,18.954475308641975,8.950724451303154,4.226730990893156,1.9959563012551012,0.9425349200371312,0.4450859344619786,0.21017946905148988

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{85}{180} = 0.4722222222222222$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.4722222222222222$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 180$ 、共通比数: $r = 0.4722222222222222$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 180 * ((1 - {0.4722222222222222}^{2}) / (1 - 0.4722222222222222))$

$s_{2} = 180 * ((1 - 0.22299382716049382) / (1 - 0.4722222222222222))$

$s_{2} = 180 * (0.7770061728395061 / (1 - 0.4722222222222222))$

$s_{2} = 180 * (0.7770061728395061 / 0.5277777777777778)$

$s_{2} = 180 \cdot 1.472222222222222$

$s_{2} = 265$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 180$ と共通比数: $r = 0.4722222222222222$ を数式に代入します。

$a_{n} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 180$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{2 - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{1} = 180 \cdot 0.4722222222222222 = 85$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{3 - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{2} = 180 \cdot 0.22299382716049382 = 40.138888888888886$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{4 - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{3} = 180 \cdot 0.10530264060356652 = 18.954475308641975$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{5 - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{4} = 180 \cdot 0.04972624695168419 = 8.950724451303154$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{6 - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{5} = 180 \cdot 0.02348183883829531 = 4.226730990893156$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{7 - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{6} = 180 \cdot 0.011088646118083896 = 1.9959563012551012$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{8 - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{7} = 180 \cdot 0.0052363051113173955 = 0.9425349200371312$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{9 - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{8} = 180 \cdot 0.002472699635899881 = 0.4450859344619786$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{10 - 1} = 180 \cdot {0.4722222222222222}^{9} = 180 \cdot 0.0011676637169527216 = 0.21017946905148988$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列