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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.9444444444444446

r=2.9444444444444446

この級数の和は次のようになります:

s = 71

s=71

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{n - 1}

a_n=18*2.9444444444444446^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

18, 53, 156.0555555555556, 459.496913580247, 1352.9631344307272, 3983.724784712698, 11729.856310542944, 34537.910247709784, 101694.95795158992, 299435.15396857035

18,53,156.0555555555556,459.496913580247,1352.9631344307272,3983.724784712698,11729.856310542944,34537.910247709784,101694.95795158992,299435.15396857035

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{53}{18} = 2.9444444444444446$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.9444444444444446$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 18$ 、共通比数: $r = 2.9444444444444446$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 18 * ((1 - {2.9444444444444446}^{2}) / (1 - 2.9444444444444446))$

$s_{2} = 18 * ((1 - 8.669753086419755) / (1 - 2.9444444444444446))$

$s_{2} = 18 * (- 7.669753086419755 / (1 - 2.9444444444444446))$

$s_{2} = 18 * (- 7.669753086419755 / - 1.9444444444444446)$

$s_{2} = 18 \cdot 3.944444444444445$

$s_{2} = 71.00000000000001$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 18$ と共通比数: $r = 2.9444444444444446$ を数式に代入します。

$a_{n} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 18$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{2 - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{1} = 18 \cdot 2.9444444444444446 = 53$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{3 - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{2} = 18 \cdot 8.669753086419755 = 156.0555555555556$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{4 - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{3} = 18 \cdot 25.527606310013724 = 459.496913580247$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{5 - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{4} = 18 \cdot 75.16461857948485 = 1352.9631344307272$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{6 - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{5} = 18 \cdot 221.31804359514987 = 3983.724784712698$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{7 - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{6} = 18 \cdot 651.6586839190525 = 11729.856310542944$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{8 - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{7} = 18 \cdot 1918.7727915394323 = 34537.910247709784$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{9 - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{8} = 18 \cdot 5649.71988619944 = 101694.95795158992$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{10 - 1} = 18 \cdot {2.9444444444444446}^{9} = 18 \cdot 16635.286331587242 = 299435.15396857035$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列