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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5061728395061729

r=0.5061728395061729

この級数の和は次のようになります:

s = 244

s=244

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{n - 1}

a_n=162*0.5061728395061729^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

162, 82, 41.50617283950618, 21.009297363206834, 10.634335702363952, 5.382811898727433, 2.7246331833064787, 1.3791353150069832, 0.6980808384603249, 0.3533495602083126

162,82,41.50617283950618,21.009297363206834,10.634335702363952,5.382811898727433,2.7246331833064787,1.3791353150069832,0.6980808384603249,0.3533495602083126

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{82}{162} = 0.5061728395061729$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5061728395061729$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 162$ 、共通比数: $r = 0.5061728395061729$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 162 * ((1 - {0.5061728395061729}^{2}) / (1 - 0.5061728395061729))$

$s_{2} = 162 * ((1 - 0.25621094345374185) / (1 - 0.5061728395061729))$

$s_{2} = 162 * (0.7437890565462582 / (1 - 0.5061728395061729))$

$s_{2} = 162 * (0.7437890565462582 / 0.49382716049382713)$

$s_{2} = 162 \cdot 1.5061728395061729$

$s_{2} = 244$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 162$ と共通比数: $r = 0.5061728395061729$ を数式に代入します。

$a_{n} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 162$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{2 - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{1} = 162 \cdot 0.5061728395061729 = 82$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{3 - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{2} = 162 \cdot 0.25621094345374185 = 41.50617283950618$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{4 - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{3} = 162 \cdot 0.129687020760536 = 21.009297363206834$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{5 - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{4} = 162 \cdot 0.0656440475454565 = 10.634335702363952$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{6 - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{5} = 162 \cdot 0.03322723394276193 = 5.382811898727433$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{7 - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{6} = 162 \cdot 0.016818723353743695 = 2.7246331833064787$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{8 - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{7} = 162 \cdot 0.00851318095683323 = 1.3791353150069832$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{9 - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{8} = 162 \cdot 0.004309140978150153 = 0.6980808384603249$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{10 - 1} = 162 \cdot {0.5061728395061729}^{9} = 162 \cdot 0.0021811701247426703 = 0.3533495602083126$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列