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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.4096

r=0.4096

この級数の和は次のようになります:

s = 225536

s=225536

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 160000 \cdot {0.4096}^{n - 1}

a_n=160000*0.4096^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

160000, 65536, 26843.5456, 10995.116277760002, 4503.599627370497, 1844.6744073709556, 755.5786372591434, 309.48500982134516, 126.76506002282298, 51.9229685853483

160000,65536,26843.5456,10995.116277760002,4503.599627370497,1844.6744073709556,755.5786372591434,309.48500982134516,126.76506002282298,51.9229685853483

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{65536}{160000} = 0.4096$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.4096$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 160, 000$ 、共通比数: $r = 0.4096$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 160000 * ((1 - {0.4096}^{2}) / (1 - 0.4096))$

$s_{2} = 160000 * ((1 - 0.16777216) / (1 - 0.4096))$

$s_{2} = 160000 * (0.83222784 / (1 - 0.4096))$

$s_{2} = 160000 * (0.83222784 / 0.5904)$

$s_{2} = 160000 \cdot 1.4096$

$s_{2} = 225536$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 160, 000$ と共通比数: $r = 0.4096$ を数式に代入します。

$a_{n} = 160000 \cdot {0.4096}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 160000$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{2 - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{1} = 160000 \cdot 0.4096 = 65536$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{3 - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{2} = 160000 \cdot 0.16777216 = 26843.5456$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{4 - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{3} = 160000 \cdot 0.06871947673600001 = 10995.116277760002$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{5 - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{4} = 160000 \cdot 0.028147497671065606 = 4503.599627370497$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{6 - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{5} = 160000 \cdot 0.011529215046068473 = 1844.6744073709556$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{7 - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{6} = 160000 \cdot 0.004722366482869647 = 755.5786372591434$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{8 - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{7} = 160000 \cdot 0.0019342813113834073 = 309.48500982134516$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{9 - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{8} = 160000 \cdot 0.0007922816251426436 = 126.76506002282298$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{10 - 1} = 160000 \cdot {0.4096}^{9} = 160000 \cdot 0.00032451855365842687 = 51.9229685853483$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列