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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 7.5625

r=7.5625

この級数の和は次のようになります:

s = 137

s=137

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 16 \cdot {7.5625}^{n - 1}

a_n=16*7.5625^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

16, 121, 915.0625, 6920.16015625, 52333.711181640625, 395773.6908111572, 2993038.5367593765, 22634853.934242785, 171176082.87771106, 1294519126.7626898

16,121,915.0625,6920.16015625,52333.711181640625,395773.6908111572,2993038.5367593765,22634853.934242785,171176082.87771106,1294519126.7626898

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{121}{16} = 7.5625$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 7.5625$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 16$ 、共通比数: $r = 7.5625$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 16 * ((1 - {7.5625}^{2}) / (1 - 7.5625))$

$s_{2} = 16 * ((1 - 57.19140625) / (1 - 7.5625))$

$s_{2} = 16 * (- 56.19140625 / (1 - 7.5625))$

$s_{2} = 16 * (- 56.19140625 / - 6.5625)$

$s_{2} = 16 \cdot 8.5625$

$s_{2} = 137$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 16$ と共通比数: $r = 7.5625$ を数式に代入します。

$a_{n} = 16 \cdot {7.5625}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 16$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{2 - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{1} = 16 \cdot 7.5625 = 121$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{3 - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{2} = 16 \cdot 57.19140625 = 915.0625$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{4 - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{3} = 16 \cdot 432.510009765625 = 6920.16015625$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{5 - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{4} = 16 \cdot 3270.856948852539 = 52333.711181640625$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{6 - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{5} = 16 \cdot 24735.855675697327 = 395773.6908111572$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{7 - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{6} = 16 \cdot 187064.90854746103 = 2993038.5367593765$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{8 - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{7} = 16 \cdot 1414678.370890174 = 22634853.934242785$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{9 - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{8} = 16 \cdot 10698505.179856941 = 171176082.87771106$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{10 - 1} = 16 \cdot {7.5625}^{9} = 16 \cdot 80907445.42266811 = 1294519126.7626898$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列