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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5303030303030303

r=0.5303030303030303

この級数の和は次のようになります:

s = 202

s=202

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{n - 1}

a_n=132*0.5303030303030303^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

132, 70, 37.12121212121212, 19.685491276400366, 10.43927567687898, 5.535979525617641, 2.9357467181305674, 1.5568353808268158, 0.8255945201354326, 0.437815275829396

132,70,37.12121212121212,19.685491276400366,10.43927567687898,5.535979525617641,2.9357467181305674,1.5568353808268158,0.8255945201354326,0.437815275829396

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{70}{132} = 0.5303030303030303$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5303030303030303$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 132$ 、共通比数: $r = 0.5303030303030303$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 132 * ((1 - {0.5303030303030303}^{2}) / (1 - 0.5303030303030303))$

$s_{2} = 132 * ((1 - 0.28122130394857664) / (1 - 0.5303030303030303))$

$s_{2} = 132 * (0.7187786960514233 / (1 - 0.5303030303030303))$

$s_{2} = 132 * (0.7187786960514233 / 0.4696969696969697)$

$s_{2} = 132 \cdot 1.5303030303030303$

$s_{2} = 202$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 132$ と共通比数: $r = 0.5303030303030303$ を数式に代入します。

$a_{n} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 132$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{2 - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{1} = 132 \cdot 0.5303030303030303 = 70$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{3 - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{2} = 132 \cdot 0.28122130394857664 = 37.12121212121212$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{4 - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{3} = 132 \cdot 0.14913250966969974 = 19.685491276400366$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{5 - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{4} = 132 \cdot 0.07908542179453773 = 10.43927567687898$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{6 - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{5} = 132 \cdot 0.041939238830436674 = 5.535979525617641$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{7 - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{6} = 132 \cdot 0.022240505440383085 = 2.9357467181305674$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{8 - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{7} = 132 \cdot 0.01179420743050618 = 1.5568353808268158$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{9 - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{8} = 132 \cdot 0.006254503940419944 = 0.8255945201354326$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{10 - 1} = 132 \cdot {0.5303030303030303}^{9} = 132 \cdot 0.0033167823926469396 = 0.437815275829396$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列