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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5769230769230769

r=0.5769230769230769

この級数の和は次のようになります:

s = 205

s=205

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{n - 1}

a_n=130*0.5769230769230769^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

130, 75, 43.26923076923076, 24.963017751479285, 14.401741010468816, 8.308696736808932, 4.7934788866205364, 2.765468588434925, 1.595462647173995, 0.9204592195234587

130,75,43.26923076923076,24.963017751479285,14.401741010468816,8.308696736808932,4.7934788866205364,2.765468588434925,1.595462647173995,0.9204592195234587

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{75}{130} = 0.5769230769230769$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5769230769230769$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 130$ 、共通比数: $r = 0.5769230769230769$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 130 * ((1 - {0.5769230769230769}^{2}) / (1 - 0.5769230769230769))$

$s_{2} = 130 * ((1 - 0.33284023668639046) / (1 - 0.5769230769230769))$

$s_{2} = 130 * (0.6671597633136095 / (1 - 0.5769230769230769))$

$s_{2} = 130 * (0.6671597633136095 / 0.42307692307692313)$

$s_{2} = 130 \cdot 1.5769230769230769$

$s_{2} = 205$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 130$ と共通比数: $r = 0.5769230769230769$ を数式に代入します。

$a_{n} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 130$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{2 - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{1} = 130 \cdot 0.5769230769230769 = 75$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{3 - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{2} = 130 \cdot 0.33284023668639046 = 43.26923076923076$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{4 - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{3} = 130 \cdot 0.19202321347291756 = 24.963017751479285$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{5 - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{4} = 130 \cdot 0.11078262315745244 = 14.401741010468816$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{6 - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{5} = 130 \cdot 0.06391305182160717 = 8.308696736808932$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{7 - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{6} = 130 \cdot 0.03687291451246567 = 4.7934788866205364$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{8 - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{7} = 130 \cdot 0.02127283529565327 = 2.765468588434925$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{9 - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{8} = 130 \cdot 0.012272789593646116 = 1.595462647173995$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{10 - 1} = 130 \cdot {0.5769230769230769}^{9} = 130 \cdot 0.0070804555347958355 = 0.9204592195234587$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列