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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.3076923076923077

r=1.3076923076923077

この級数の和は次のようになります:

s = 30

s=30

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{n - 1}

a_n=13*1.3076923076923077^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

13, 17, 22.230769230769234, 29.071005917159766, 38.015930814747385, 49.713140296208124, 65.00949115657986, 85.01241151245057, 111.1700765932046, 145.37625400649833

13,17,22.230769230769234,29.071005917159766,38.015930814747385,49.713140296208124,65.00949115657986,85.01241151245057,111.1700765932046,145.37625400649833

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{17}{13} = 1.3076923076923077$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.3076923076923077$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 13$ 、共通比数: $r = 1.3076923076923077$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 13 * ((1 - {1.3076923076923077}^{2}) / (1 - 1.3076923076923077))$

$s_{2} = 13 * ((1 - 1.7100591715976332) / (1 - 1.3076923076923077))$

$s_{2} = 13 * (- 0.7100591715976332 / (1 - 1.3076923076923077))$

$s_{2} = 13 * (- 0.7100591715976332 / - 0.3076923076923077)$

$s_{2} = 13 \cdot 2.307692307692308$

$s_{2} = 30.000000000000004$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 13$ と共通比数: $r = 1.3076923076923077$ を数式に代入します。

$a_{n} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 13$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{2 - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{1} = 13 \cdot 1.3076923076923077 = 17$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{3 - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{2} = 13 \cdot 1.7100591715976332 = 22.230769230769234$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{4 - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{3} = 13 \cdot 2.236231224396905 = 29.071005917159766$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{5 - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{4} = 13 \cdot 2.9243023703651834 = 38.015930814747385$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{6 - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{5} = 13 \cdot 3.8240877150929324 = 49.713140296208124$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{7 - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{6} = 13 \cdot 5.000730088967681 = 65.00949115657986$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{8 - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{7} = 13 \cdot 6.5394162701885055 = 85.01241151245057$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{9 - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{8} = 13 \cdot 8.55154435332343 = 111.1700765932046$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{10 - 1} = 13 \cdot {1.3076923076923077}^{9} = 13 \cdot 11.18278876973064 = 145.37625400649833$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列