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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.9230769230769231

r=0.9230769230769231

この級数の和は次のようになります:

s = 24

s=24

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{n - 1}

a_n=13*0.9230769230769231^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

13, 12, 11.076923076923078, 10.224852071005918, 9.438324988620849, 8.712299989496168, 8.042123067227234, 7.423498215902061, 6.852459891601904, 6.325347592247911

13,12,11.076923076923078,10.224852071005918,9.438324988620849,8.712299989496168,8.042123067227234,7.423498215902061,6.852459891601904,6.325347592247911

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{12}{13} = 0.9230769230769231$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.9230769230769231$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 13$ 、共通比数: $r = 0.9230769230769231$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 13 * ((1 - {0.9230769230769231}^{2}) / (1 - 0.9230769230769231))$

$s_{2} = 13 * ((1 - 0.8520710059171599) / (1 - 0.9230769230769231))$

$s_{2} = 13 * (0.1479289940828401 / (1 - 0.9230769230769231))$

$s_{2} = 13 * (0.1479289940828401 / 0.07692307692307687)$

$s_{2} = 13 \cdot 1.9230769230769227$

$s_{2} = 24.999999999999996$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 13$ と共通比数: $r = 0.9230769230769231$ を数式に代入します。

$a_{n} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 13$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{2 - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{1} = 13 \cdot 0.9230769230769231 = 12$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{3 - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{2} = 13 \cdot 0.8520710059171599 = 11.076923076923078$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{4 - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{3} = 13 \cdot 0.7865270823850706 = 10.224852071005918$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{5 - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{4} = 13 \cdot 0.7260249991246807 = 9.438324988620849$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{6 - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{5} = 13 \cdot 0.670176922268936 = 8.712299989496168$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{7 - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{6} = 13 \cdot 0.6186248513251718 = 8.042123067227234$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{8 - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{7} = 13 \cdot 0.5710383243001586 = 7.423498215902061$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{9 - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{8} = 13 \cdot 0.5271122993539926 = 6.852459891601904$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{10 - 1} = 13 \cdot {0.9230769230769231}^{9} = 13 \cdot 0.4865651994036855 = 6.325347592247911$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列