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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.9140625

r=1.9140625

この級数の和は次のようになります:

s = 373

s=373

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 128 \cdot {1.9140625}^{n - 1}

a_n=128*1.9140625^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

128, 245, 468.9453125, 897.5906372070312, 1718.0445790290833, 3288.4447020478547, 6294.288687513472, 12047.661940943755, 23059.977933837654, 44138.23901398614

128,245,468.9453125,897.5906372070312,1718.0445790290833,3288.4447020478547,6294.288687513472,12047.661940943755,23059.977933837654,44138.23901398614

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{245}{128} = 1.9140625$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.9140625$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 128$ 、共通比数: $r = 1.9140625$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 128 * ((1 - {1.9140625}^{2}) / (1 - 1.9140625))$

$s_{2} = 128 * ((1 - 3.66363525390625) / (1 - 1.9140625))$

$s_{2} = 128 * (- 2.66363525390625 / (1 - 1.9140625))$

$s_{2} = 128 * (- 2.66363525390625 / - 0.9140625)$

$s_{2} = 128 \cdot 2.9140625$

$s_{2} = 373$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 128$ と共通比数: $r = 1.9140625$ を数式に代入します。

$a_{n} = 128 \cdot {1.9140625}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 128$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{2 - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{1} = 128 \cdot 1.9140625 = 245$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{3 - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{2} = 128 \cdot 3.66363525390625 = 468.9453125$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{4 - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{3} = 128 \cdot 7.012426853179932 = 897.5906372070312$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{5 - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{4} = 128 \cdot 13.422223273664713 = 1718.0445790290833$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{6 - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{5} = 128 \cdot 25.690974234748865 = 3288.4447020478547$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{7 - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{6} = 128 \cdot 49.174130371199 = 6294.288687513472$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{8 - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{7} = 128 \cdot 94.12235891362309 = 12047.661940943755$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{9 - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{8} = 128 \cdot 180.15607760810667 = 23059.977933837654$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{10 - 1} = 128 \cdot {1.9140625}^{9} = 128 \cdot 344.8299922967667 = 44138.23901398614$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列