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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.6721311475409836

r=0.6721311475409836

この級数の和は次のようになります:

s = 203

s=203

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{n - 1}

a_n=122*0.6721311475409836^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

122, 82, 55.11475409836065, 37.04434291857027, 24.898656715760346, 16.73516271059302, 11.248224116955964, 7.5602817835277785, 5.081500870895719, 3.415435011585647

122,82,55.11475409836065,37.04434291857027,24.898656715760346,16.73516271059302,11.248224116955964,7.5602817835277785,5.081500870895719,3.415435011585647

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{82}{122} = 0.6721311475409836$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.6721311475409836$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 122$ 、共通比数: $r = 0.6721311475409836$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 122 * ((1 - {0.6721311475409836}^{2}) / (1 - 0.6721311475409836))$

$s_{2} = 122 * ((1 - 0.45176027949475944) / (1 - 0.6721311475409836))$

$s_{2} = 122 * (0.5482397205052405 / (1 - 0.6721311475409836))$

$s_{2} = 122 * (0.5482397205052405 / 0.3278688524590164)$

$s_{2} = 122 \cdot 1.6721311475409835$

$s_{2} = 203.99999999999997$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 122$ と共通比数: $r = 0.6721311475409836$ を数式に代入します。

$a_{n} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 122$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{2 - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{1} = 122 \cdot 0.6721311475409836 = 82$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{3 - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{2} = 122 \cdot 0.45176027949475944 = 55.11475409836065$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{4 - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{3} = 122 \cdot 0.3036421550702481 = 37.04434291857027$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{5 - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{4} = 122 \cdot 0.20408735012918316 = 24.898656715760346$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{6 - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{5} = 122 \cdot 0.13717346484092638 = 16.73516271059302$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{7 - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{6} = 122 \cdot 0.09219855833570462 = 11.248224116955964$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{8 - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{7} = 122 \cdot 0.06196952281580146 = 7.5602817835277785$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{9 - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{8} = 122 \cdot 0.0416516464827518 = 5.081500870895719$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{10 - 1} = 122 \cdot {0.6721311475409836}^{9} = 122 \cdot 0.027995368947423337 = 3.415435011585647$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列