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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.8181818181818182

r=0.8181818181818182

この級数の和は次のようになります:

s = 220

s=220

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{n - 1}

a_n=121*0.8181818181818182^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

121, 99, 81.00000000000001, 66.27272727272728, 54.22314049586778, 44.36438767843728, 36.29813537326687, 29.698474396309255, 24.298751778798486, 19.880796909926037

121,99,81.00000000000001,66.27272727272728,54.22314049586778,44.36438767843728,36.29813537326687,29.698474396309255,24.298751778798486,19.880796909926037

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{99}{121} = 0.8181818181818182$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.8181818181818182$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 121$ 、共通比数: $r = 0.8181818181818182$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 121 * ((1 - {0.8181818181818182}^{2}) / (1 - 0.8181818181818182))$

$s_{2} = 121 * ((1 - 0.6694214876033059) / (1 - 0.8181818181818182))$

$s_{2} = 121 * (0.3305785123966941 / (1 - 0.8181818181818182))$

$s_{2} = 121 * (0.3305785123966941 / 0.18181818181818177)$

$s_{2} = 121 \cdot 1.8181818181818181$

$s_{2} = 220$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 121$ と共通比数: $r = 0.8181818181818182$ を数式に代入します。

$a_{n} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 121$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{2 - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{1} = 121 \cdot 0.8181818181818182 = 99$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{3 - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{2} = 121 \cdot 0.6694214876033059 = 81.00000000000001$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{4 - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{3} = 121 \cdot 0.5477084898572503 = 66.27272727272728$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{5 - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{4} = 121 \cdot 0.44812512806502297 = 54.22314049586778$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{6 - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{5} = 121 \cdot 0.3666478320532007 = 44.36438767843728$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{7 - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{6} = 121 \cdot 0.2999845898617096 = 36.29813537326687$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{8 - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{7} = 121 \cdot 0.24544193715958063 = 29.698474396309255$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{9 - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{8} = 121 \cdot 0.20081613040329327 = 24.298751778798486$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{10 - 1} = 121 \cdot {0.8181818181818182}^{9} = 121 \cdot 0.1643041066936036 = 19.880796909926037$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列