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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5833333333333334

r=0.5833333333333334

この級数の和は次のようになります:

s = 190

s=190

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{n - 1}

a_n=120*0.5833333333333334^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

120, 70, 40.83333333333334, 23.81944444444445, 13.89467592592593, 8.105227623456793, 4.7280494470164625, 2.758028844092937, 1.6088501590542132, 0.9384959261149577

120,70,40.83333333333334,23.81944444444445,13.89467592592593,8.105227623456793,4.7280494470164625,2.758028844092937,1.6088501590542132,0.9384959261149577

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{70}{120} = 0.5833333333333334$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5833333333333334$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 120$ 、共通比数: $r = 0.5833333333333334$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 120 * ((1 - {0.5833333333333334}^{2}) / (1 - 0.5833333333333334))$

$s_{2} = 120 * ((1 - 0.34027777777777785) / (1 - 0.5833333333333334))$

$s_{2} = 120 * (0.6597222222222221 / (1 - 0.5833333333333334))$

$s_{2} = 120 * (0.6597222222222221 / 0.41666666666666663)$

$s_{2} = 120 \cdot 1.5833333333333333$

$s_{2} = 190$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 120$ と共通比数: $r = 0.5833333333333334$ を数式に代入します。

$a_{n} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 120$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{2 - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{1} = 120 \cdot 0.5833333333333334 = 70$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{3 - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{2} = 120 \cdot 0.34027777777777785 = 40.83333333333334$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{4 - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{3} = 120 \cdot 0.1984953703703704 = 23.81944444444445$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{5 - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{4} = 120 \cdot 0.11578896604938274 = 13.89467592592593$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{6 - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{5} = 120 \cdot 0.06754356352880661 = 8.105227623456793$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{7 - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{6} = 120 \cdot 0.03940041205847052 = 4.7280494470164625$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{8 - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{7} = 120 \cdot 0.022983573700774473 = 2.758028844092937$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{9 - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{8} = 120 \cdot 0.01340708465878511 = 1.6088501590542132$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{10 - 1} = 120 \cdot {0.5833333333333334}^{9} = 120 \cdot 0.007820799384291314 = 0.9384959261149577$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列