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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.6101694915254238

r=0.6101694915254238

この級数の和は次のようになります:

s = 190

s=190

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{n - 1}

a_n=118*0.6101694915254238^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

118, 72, 43.93220338983051, 26.80609020396438, 16.35625842953759, 9.980089889209378, 6.089546373076909, 3.7156554140808256, 2.267179574693386, 1.3833638082874897

118,72,43.93220338983051,26.80609020396438,16.35625842953759,9.980089889209378,6.089546373076909,3.7156554140808256,2.267179574693386,1.3833638082874897

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{72}{118} = 0.6101694915254238$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.6101694915254238$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 118$ 、共通比数: $r = 0.6101694915254238$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 118 * ((1 - {0.6101694915254238}^{2}) / (1 - 0.6101694915254238))$

$s_{2} = 118 * ((1 - 0.3723068083883942) / (1 - 0.6101694915254238))$

$s_{2} = 118 * (0.6276931916116057 / (1 - 0.6101694915254238))$

$s_{2} = 118 * (0.6276931916116057 / 0.38983050847457623)$

$s_{2} = 118 \cdot 1.6101694915254237$

$s_{2} = 190$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 118$ と共通比数: $r = 0.6101694915254238$ を数式に代入します。

$a_{n} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 118$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{2 - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{1} = 118 \cdot 0.6101694915254238 = 72$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{3 - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{2} = 118 \cdot 0.3723068083883942 = 43.93220338983051$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{4 - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{3} = 118 \cdot 0.22717025596579984 = 26.80609020396438$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{5 - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{4} = 118 \cdot 0.13861235957235246 = 16.35625842953759$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{6 - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{5} = 118 \cdot 0.08457703295940151 = 9.980089889209378$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{7 - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{6} = 118 \cdot 0.05160632519556703 = 6.089546373076909$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{8 - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{7} = 118 \cdot 0.031488605204074795 = 3.7156554140808256$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{9 - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{8} = 118 \cdot 0.019213386226215132 = 2.267179574693386$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{10 - 1} = 118 \cdot {0.6101694915254238}^{9} = 118 \cdot 0.011723422104131269 = 1.3833638082874897$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列