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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.4375

r=0.4375

この級数の和は次のようになります:

s = 161

s=161

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 112 \cdot {0.4375}^{n - 1}

a_n=112*0.4375^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

112, 49, 21.4375, 9.37890625, 4.103271484375, 1.7951812744140625, 0.7853918075561523, 0.34360891580581665, 0.15032890066504478, 0.0657688940409571

112,49,21.4375,9.37890625,4.103271484375,1.7951812744140625,0.7853918075561523,0.34360891580581665,0.15032890066504478,0.0657688940409571

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{49}{112} = 0.4375$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.4375$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 112$ 、共通比数: $r = 0.4375$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 112 * ((1 - {0.4375}^{2}) / (1 - 0.4375))$

$s_{2} = 112 * ((1 - 0.19140625) / (1 - 0.4375))$

$s_{2} = 112 * (0.80859375 / (1 - 0.4375))$

$s_{2} = 112 * (0.80859375 / 0.5625)$

$s_{2} = 112 \cdot 1.4375$

$s_{2} = 161$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 112$ と共通比数: $r = 0.4375$ を数式に代入します。

$a_{n} = 112 \cdot {0.4375}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 112$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{2 - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{1} = 112 \cdot 0.4375 = 49$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{3 - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{2} = 112 \cdot 0.19140625 = 21.4375$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{4 - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{3} = 112 \cdot 0.083740234375 = 9.37890625$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{5 - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{4} = 112 \cdot 0.0366363525390625 = 4.103271484375$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{6 - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{5} = 112 \cdot 0.016028404235839844 = 1.7951812744140625$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{7 - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{6} = 112 \cdot 0.007012426853179932 = 0.7853918075561523$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{8 - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{7} = 112 \cdot 0.00306793674826622 = 0.34360891580581665$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{9 - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{8} = 112 \cdot 0.0013422223273664713 = 0.15032890066504478$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{10 - 1} = 112 \cdot {0.4375}^{9} = 112 \cdot 0.0005872222682228312 = 0.0657688940409571$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列