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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5405405405405406

r=0.5405405405405406

この級数の和は次のようになります:

s = 171

s=171

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{n - 1}

a_n=111*0.5405405405405406^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

111, 60, 32.432432432432435, 17.53104455807159, 9.476240301660319, 5.122292054951523, 2.768806516190013, 1.4966521709135208, 0.8090011734667679, 0.43729793160365843

111,60,32.432432432432435,17.53104455807159,9.476240301660319,5.122292054951523,2.768806516190013,1.4966521709135208,0.8090011734667679,0.43729793160365843

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{60}{111} = 0.5405405405405406$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5405405405405406$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 111$ 、共通比数: $r = 0.5405405405405406$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 111 * ((1 - {0.5405405405405406}^{2}) / (1 - 0.5405405405405406))$

$s_{2} = 111 * ((1 - 0.2921840759678598) / (1 - 0.5405405405405406))$

$s_{2} = 111 * (0.7078159240321402 / (1 - 0.5405405405405406))$

$s_{2} = 111 * (0.7078159240321402 / 0.45945945945945943)$

$s_{2} = 111 \cdot 1.5405405405405406$

$s_{2} = 171$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 111$ と共通比数: $r = 0.5405405405405406$ を数式に代入します。

$a_{n} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 111$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{2 - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{1} = 111 \cdot 0.5405405405405406 = 60$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{3 - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{2} = 111 \cdot 0.2921840759678598 = 32.432432432432435$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{4 - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{3} = 111 \cdot 0.1579373383610053 = 17.53104455807159$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{5 - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{4} = 111 \cdot 0.08537153424919205 = 9.476240301660319$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{6 - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{5} = 111 \cdot 0.046146775269833545 = 5.122292054951523$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{7 - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{6} = 111 \cdot 0.024944202848558677 = 2.768806516190013$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{8 - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{7} = 111 \cdot 0.013483352891112799 = 1.4966521709135208$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{9 - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{8} = 111 \cdot 0.0072882988600609724 = 0.8090011734667679$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{10 - 1} = 111 \cdot {0.5405405405405406}^{9} = 111 \cdot 0.003939621005438364 = 0.43729793160365843$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列