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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.8181818181818182

r=0.8181818181818182

この級数の和は次のようになります:

s = 200

s=200

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{n - 1}

a_n=110*0.8181818181818182^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

110, 90, 73.63636363636365, 60.24793388429753, 49.293764087152525, 40.33126152585207, 32.998304884788055, 26.99861308755387, 22.089774344362258, 18.073451736296395

110,90,73.63636363636365,60.24793388429753,49.293764087152525,40.33126152585207,32.998304884788055,26.99861308755387,22.089774344362258,18.073451736296395

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{90}{110} = 0.8181818181818182$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.8181818181818182$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 110$ 、共通比数: $r = 0.8181818181818182$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 110 * ((1 - {0.8181818181818182}^{2}) / (1 - 0.8181818181818182))$

$s_{2} = 110 * ((1 - 0.6694214876033059) / (1 - 0.8181818181818182))$

$s_{2} = 110 * (0.3305785123966941 / (1 - 0.8181818181818182))$

$s_{2} = 110 * (0.3305785123966941 / 0.18181818181818177)$

$s_{2} = 110 \cdot 1.8181818181818181$

$s_{2} = 200$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 110$ と共通比数: $r = 0.8181818181818182$ を数式に代入します。

$a_{n} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 110$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{2 - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{1} = 110 \cdot 0.8181818181818182 = 90$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{3 - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{2} = 110 \cdot 0.6694214876033059 = 73.63636363636365$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{4 - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{3} = 110 \cdot 0.5477084898572503 = 60.24793388429753$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{5 - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{4} = 110 \cdot 0.44812512806502297 = 49.293764087152525$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{6 - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{5} = 110 \cdot 0.3666478320532007 = 40.33126152585207$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{7 - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{6} = 110 \cdot 0.2999845898617096 = 32.998304884788055$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{8 - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{7} = 110 \cdot 0.24544193715958063 = 26.99861308755387$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{9 - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{8} = 110 \cdot 0.20081613040329327 = 22.089774344362258$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{10 - 1} = 110 \cdot {0.8181818181818182}^{9} = 110 \cdot 0.1643041066936036 = 18.073451736296395$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列