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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.45454545454545453

r=0.45454545454545453

この級数の和は次のようになります:

s = 160

s=160

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{n - 1}

a_n=110*0.45454545454545453^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

110, 50, 22.727272727272727, 10.330578512396693, 4.69571750563486, 2.1344170480158455, 0.9701895672799298, 0.44099525785451354, 0.2004523899338698, 0.09111472269721353

110,50,22.727272727272727,10.330578512396693,4.69571750563486,2.1344170480158455,0.9701895672799298,0.44099525785451354,0.2004523899338698,0.09111472269721353

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{50}{110} = 0.45454545454545453$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.45454545454545453$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 110$ 、共通比数: $r = 0.45454545454545453$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 110 * ((1 - {0.45454545454545453}^{2}) / (1 - 0.45454545454545453))$

$s_{2} = 110 * ((1 - 0.20661157024793386) / (1 - 0.45454545454545453))$

$s_{2} = 110 * (0.7933884297520661 / (1 - 0.45454545454545453))$

$s_{2} = 110 * (0.7933884297520661 / 0.5454545454545454)$

$s_{2} = 110 \cdot 1.4545454545454546$

$s_{2} = 160$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 110$ と共通比数: $r = 0.45454545454545453$ を数式に代入します。

$a_{n} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 110$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{2 - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{1} = 110 \cdot 0.45454545454545453 = 50$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{3 - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{2} = 110 \cdot 0.20661157024793386 = 22.727272727272727$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{4 - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{3} = 110 \cdot 0.0939143501126972 = 10.330578512396693$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{5 - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{4} = 110 \cdot 0.042688340960316914 = 4.69571750563486$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{6 - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{5} = 110 \cdot 0.019403791345598595 = 2.1344170480158455$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{7 - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{6} = 110 \cdot 0.00881990515709027 = 0.9701895672799298$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{8 - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{7} = 110 \cdot 0.004009047798677396 = 0.44099525785451354$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{9 - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{8} = 110 \cdot 0.0018222944539442708 = 0.2004523899338698$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{10 - 1} = 110 \cdot {0.45454545454545453}^{9} = 110 \cdot 0.0008283156608837593 = 0.09111472269721353$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列