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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.0909090909090908

r=1.0909090909090908

この級数の和は次のようになります:

s = 23

s=23

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{n - 1}

a_n=11*1.0909090909090908^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

11, 12, 13.090909090909088, 14.280991735537185, 15.579263711495113, 16.99556041254012, 18.540611359134676, 20.22612148269237, 22.064859799300766, 24.070756144691746

11,12,13.090909090909088,14.280991735537185,15.579263711495113,16.99556041254012,18.540611359134676,20.22612148269237,22.064859799300766,24.070756144691746

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{12}{11} = 1.0909090909090908$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.0909090909090908$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 11$ 、共通比数: $r = 1.0909090909090908$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 11 * ((1 - {1.0909090909090908}^{2}) / (1 - 1.0909090909090908))$

$s_{2} = 11 * ((1 - 1.190082644628099) / (1 - 1.0909090909090908))$

$s_{2} = 11 * (- 0.19008264462809898 / (1 - 1.0909090909090908))$

$s_{2} = 11 * (- 0.19008264462809898 / - 0.09090909090909083)$

$s_{2} = 11 \cdot 2.090909090909091$

$s_{2} = 23$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 11$ と共通比数: $r = 1.0909090909090908$ を数式に代入します。

$a_{n} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 11$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{2 - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{1} = 11 \cdot 1.0909090909090908 = 12$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{3 - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{2} = 11 \cdot 1.190082644628099 = 13.090909090909088$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{4 - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{3} = 11 \cdot 1.298271975957926 = 14.280991735537185$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{5 - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{4} = 11 \cdot 1.4162967010450103 = 15.579263711495113$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{6 - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{5} = 11 \cdot 1.5450509465945563 = 16.99556041254012$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{7 - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{6} = 11 \cdot 1.6855101235576977 = 18.540611359134676$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{8 - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{7} = 11 \cdot 1.8387383166083975 = 20.22612148269237$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{9 - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{8} = 11 \cdot 2.005896345390979 = 22.064859799300766$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{10 - 1} = 11 \cdot {1.0909090909090908}^{9} = 11 \cdot 2.1882505586083405 = 24.070756144691746$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列