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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.6944444444444444

r=0.6944444444444444

この級数の和は次のようになります:

s = 183

s=183

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{n - 1}

a_n=108*0.6944444444444444^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

108, 75, 52.08333333333333, 36.16898148148148, 25.1173482510288, 17.442602952103336, 12.112918716738427, 8.411749108846129, 5.841492436698701, 4.056591969929653

108,75,52.08333333333333,36.16898148148148,25.1173482510288,17.442602952103336,12.112918716738427,8.411749108846129,5.841492436698701,4.056591969929653

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{75}{108} = 0.6944444444444444$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.6944444444444444$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 108$ 、共通比数: $r = 0.6944444444444444$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 108 * ((1 - {0.6944444444444444}^{2}) / (1 - 0.6944444444444444))$

$s_{2} = 108 * ((1 - 0.48225308641975306) / (1 - 0.6944444444444444))$

$s_{2} = 108 * (0.5177469135802469 / (1 - 0.6944444444444444))$

$s_{2} = 108 * (0.5177469135802469 / 0.3055555555555556)$

$s_{2} = 108 \cdot 1.6944444444444444$

$s_{2} = 183$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 108$ と共通比数: $r = 0.6944444444444444$ を数式に代入します。

$a_{n} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 108$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{2 - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{1} = 108 \cdot 0.6944444444444444 = 75$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{3 - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{2} = 108 \cdot 0.48225308641975306 = 52.08333333333333$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{4 - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{3} = 108 \cdot 0.33489797668038407 = 36.16898148148148$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{5 - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{4} = 108 \cdot 0.2325680393613778 = 25.1173482510288$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{6 - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{5} = 108 \cdot 0.1615055828898457 = 17.442602952103336$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{7 - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{6} = 108 \cdot 0.11215665478461506 = 12.112918716738427$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{8 - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{7} = 108 \cdot 0.07788656582264934 = 8.411749108846129$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{9 - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{8} = 108 \cdot 0.054087892932395375 = 5.841492436698701$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{10 - 1} = 108 \cdot {0.6944444444444444}^{9} = 108 \cdot 0.0375610367586079 = 4.056591969929653$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列