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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5833333333333334

r=0.5833333333333334

この級数の和は次のようになります:

s = 171

s=171

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{n - 1}

a_n=108*0.5833333333333334^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

108, 63.00000000000001, 36.75000000000001, 21.437500000000004, 12.505208333333336, 7.294704861111114, 4.255244502314817, 2.4822259596836433, 1.4479651431487919, 0.8446463335034619

108,63.00000000000001,36.75000000000001,21.437500000000004,12.505208333333336,7.294704861111114,4.255244502314817,2.4822259596836433,1.4479651431487919,0.8446463335034619

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{63}{108} = 0.5833333333333334$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5833333333333334$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 108$ 、共通比数: $r = 0.5833333333333334$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 108 * ((1 - {0.5833333333333334}^{2}) / (1 - 0.5833333333333334))$

$s_{2} = 108 * ((1 - 0.34027777777777785) / (1 - 0.5833333333333334))$

$s_{2} = 108 * (0.6597222222222221 / (1 - 0.5833333333333334))$

$s_{2} = 108 * (0.6597222222222221 / 0.41666666666666663)$

$s_{2} = 108 \cdot 1.5833333333333333$

$s_{2} = 171$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 108$ と共通比数: $r = 0.5833333333333334$ を数式に代入します。

$a_{n} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 108$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{2 - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{1} = 108 \cdot 0.5833333333333334 = 63.00000000000001$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{3 - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{2} = 108 \cdot 0.34027777777777785 = 36.75000000000001$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{4 - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{3} = 108 \cdot 0.1984953703703704 = 21.437500000000004$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{5 - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{4} = 108 \cdot 0.11578896604938274 = 12.505208333333336$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{6 - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{5} = 108 \cdot 0.06754356352880661 = 7.294704861111114$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{7 - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{6} = 108 \cdot 0.03940041205847052 = 4.255244502314817$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{8 - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{7} = 108 \cdot 0.022983573700774473 = 2.4822259596836433$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{9 - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{8} = 108 \cdot 0.01340708465878511 = 1.4479651431487919$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{10 - 1} = 108 \cdot {0.5833333333333334}^{9} = 108 \cdot 0.007820799384291314 = 0.8446463335034619$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列