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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5277777777777778

r=0.5277777777777778

この級数の和は次のようになります:

s = 165

s=165

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{n - 1}

a_n=108*0.5277777777777778^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

108, 57, 30.083333333333336, 15.877314814814815, 8.379693930041153, 4.422616240855053, 2.3341585715623894, 1.2319170238801498, 0.6501784292700791, 0.34314972655920845

108,57,30.083333333333336,15.877314814814815,8.379693930041153,4.422616240855053,2.3341585715623894,1.2319170238801498,0.6501784292700791,0.34314972655920845

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{57}{108} = 0.5277777777777778$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5277777777777778$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 108$ 、共通比数: $r = 0.5277777777777778$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 108 * ((1 - {0.5277777777777778}^{2}) / (1 - 0.5277777777777778))$

$s_{2} = 108 * ((1 - 0.2785493827160494) / (1 - 0.5277777777777778))$

$s_{2} = 108 * (0.7214506172839505 / (1 - 0.5277777777777778))$

$s_{2} = 108 * (0.7214506172839505 / 0.4722222222222222)$

$s_{2} = 108 \cdot 1.5277777777777777$

$s_{2} = 165$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 108$ と共通比数: $r = 0.5277777777777778$ を数式に代入します。

$a_{n} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 108$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{2 - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{1} = 108 \cdot 0.5277777777777778 = 57$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{3 - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{2} = 108 \cdot 0.2785493827160494 = 30.083333333333336$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{4 - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{3} = 108 \cdot 0.1470121742112483 = 15.877314814814815$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{5 - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{4} = 108 \cdot 0.07758975861149216 = 8.379693930041153$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{6 - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{5} = 108 \cdot 0.04095015037828753 = 4.422616240855053$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{7 - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{6} = 108 \cdot 0.02161257936631842 = 2.3341585715623894$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{8 - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{7} = 108 \cdot 0.011406639110001388 = 1.2319170238801498$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{9 - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{8} = 108 \cdot 0.006020170641389621 = 0.6501784292700791$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{10 - 1} = 108 \cdot {0.5277777777777778}^{9} = 108 \cdot 0.0031773122829556336 = 0.34314972655920845$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列