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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.7142857142857143

r=0.7142857142857143

この級数の和は次のようになります:

s = 180

s=180

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{n - 1}

a_n=105*0.7142857142857143^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

105, 75, 53.57142857142857, 38.26530612244898, 27.332361516034986, 19.523115368596418, 13.9450824061403, 9.960773147243073, 7.11483796231648, 5.082027115940344

105,75,53.57142857142857,38.26530612244898,27.332361516034986,19.523115368596418,13.9450824061403,9.960773147243073,7.11483796231648,5.082027115940344

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{75}{105} = 0.7142857142857143$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.7142857142857143$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 105$ 、共通比数: $r = 0.7142857142857143$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 105 * ((1 - {0.7142857142857143}^{2}) / (1 - 0.7142857142857143))$

$s_{2} = 105 * ((1 - 0.5102040816326531) / (1 - 0.7142857142857143))$

$s_{2} = 105 * (0.4897959183673469 / (1 - 0.7142857142857143))$

$s_{2} = 105 * (0.4897959183673469 / 0.2857142857142857)$

$s_{2} = 105 \cdot 1.7142857142857144$

$s_{2} = 180$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 105$ と共通比数: $r = 0.7142857142857143$ を数式に代入します。

$a_{n} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 105$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{2 - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{1} = 105 \cdot 0.7142857142857143 = 75$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{3 - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{2} = 105 \cdot 0.5102040816326531 = 53.57142857142857$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{4 - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{3} = 105 \cdot 0.3644314868804665 = 38.26530612244898$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{5 - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{4} = 105 \cdot 0.2603082049146189 = 27.332361516034986$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{6 - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{5} = 105 \cdot 0.18593443208187066 = 19.523115368596418$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{7 - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{6} = 105 \cdot 0.13281030862990761 = 13.9450824061403$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{8 - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{7} = 105 \cdot 0.09486450616421974 = 9.960773147243073$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{9 - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{8} = 105 \cdot 0.06776036154587124 = 7.11483796231648$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{10 - 1} = 105 \cdot {0.7142857142857143}^{9} = 105 \cdot 0.04840025824705089 = 5.082027115940344$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列