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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5625

r=0.5625

この級数の和は次のようになります:

s = 1600

s=1600

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 1024 \cdot {0.5625}^{n - 1}

a_n=1024*0.5625^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

1024, 576, 324, 182.25, 102.515625, 57.6650390625, 32.43658447265625, 18.24557876586914, 10.263138055801392, 5.773015156388283

1024,576,324,182.25,102.515625,57.6650390625,32.43658447265625,18.24557876586914,10.263138055801392,5.773015156388283

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{576}{1024} = 0.5625$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5625$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 1, 024$ 、共通比数: $r = 0.5625$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 1024 * ((1 - {0.5625}^{2}) / (1 - 0.5625))$

$s_{2} = 1024 * ((1 - 0.31640625) / (1 - 0.5625))$

$s_{2} = 1024 * (0.68359375 / (1 - 0.5625))$

$s_{2} = 1024 * (0.68359375 / 0.4375)$

$s_{2} = 1024 \cdot 1.5625$

$s_{2} = 1600$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 1, 024$ と共通比数: $r = 0.5625$ を数式に代入します。

$a_{n} = 1024 \cdot {0.5625}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 1024$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{2 - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{1} = 1024 \cdot 0.5625 = 576$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{3 - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{2} = 1024 \cdot 0.31640625 = 324$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{4 - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{3} = 1024 \cdot 0.177978515625 = 182.25$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{5 - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{4} = 1024 \cdot 0.1001129150390625 = 102.515625$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{6 - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{5} = 1024 \cdot 0.056313514709472656 = 57.6650390625$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{7 - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{6} = 1024 \cdot 0.03167635202407837 = 32.43658447265625$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{8 - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{7} = 1024 \cdot 0.017817948013544083 = 18.24557876586914$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{9 - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{8} = 1024 \cdot 0.010022595757618546 = 10.263138055801392$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{10 - 1} = 1024 \cdot {0.5625}^{9} = 1024 \cdot 0.005637710113660432 = 5.773015156388283$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列