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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 3.1470588235294117

r=3.1470588235294117

この級数の和は次のようになります:

s = 422

s=422

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{n - 1}

a_n=102*3.1470588235294117^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

102, 321, 1010.2058823529411, 3179.177335640138, 10005.058085691024, 31486.506328498217, 99089.88756321497, 311841.704978353, 981384.1891965815, 3088473.771883359

102,321,1010.2058823529411,3179.177335640138,10005.058085691024,31486.506328498217,99089.88756321497,311841.704978353,981384.1891965815,3088473.771883359

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{321}{102} = 3.1470588235294117$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 3.1470588235294117$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 102$ 、共通比数: $r = 3.1470588235294117$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 102 * ((1 - {3.1470588235294117}^{2}) / (1 - 3.1470588235294117))$

$s_{2} = 102 * ((1 - 9.903979238754324) / (1 - 3.1470588235294117))$

$s_{2} = 102 * (- 8.903979238754324 / (1 - 3.1470588235294117))$

$s_{2} = 102 * (- 8.903979238754324 / - 2.1470588235294117)$

$s_{2} = 102 \cdot 4.147058823529411$

$s_{2} = 422.99999999999994$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 102$ と共通比数: $r = 3.1470588235294117$ を数式に代入します。

$a_{n} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 102$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{2 - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{1} = 102 \cdot 3.1470588235294117 = 321$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{3 - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{2} = 102 \cdot 9.903979238754324 = 1010.2058823529411$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{4 - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{3} = 102 \cdot 31.168405251373905 = 3179.177335640138$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{5 - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{4} = 102 \cdot 98.0888047616767 = 10005.058085691024$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{6 - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{5} = 102 \cdot 308.6912385146884 = 31486.506328498217$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{7 - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{6} = 102 \cdot 971.4694859138723 = 99089.88756321497$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{8 - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{7} = 102 \cdot 3057.2716174348334 = 311841.704978353$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{9 - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{8} = 102 \cdot 9621.413619574329 = 981384.1891965815$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{10 - 1} = 102 \cdot {3.1470588235294117}^{9} = 102 \cdot 30279.154626307445 = 3088473.771883359$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列