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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.1

r=1.1

この級数の和は次のようになります:

s = 210

s=210

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 100 \cdot {1.1}^{n - 1}

a_n=100*1.1^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

100, 110.00000000000001, 121.00000000000001, 133.10000000000005, 146.41000000000005, 161.05100000000004, 177.1561000000001, 194.87171000000012, 214.35888100000017, 235.7947691000002

100,110.00000000000001,121.00000000000001,133.10000000000005,146.41000000000005,161.05100000000004,177.1561000000001,194.87171000000012,214.35888100000017,235.7947691000002

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{110}{100} = 1.1$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.1$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 100$ 、共通比数: $r = 1.1$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 100 * ((1 - {1.1}^{2}) / (1 - 1.1))$

$s_{2} = 100 * ((1 - 1.2100000000000002) / (1 - 1.1))$

$s_{2} = 100 * (- 0.2100000000000002 / (1 - 1.1))$

$s_{2} = 100 * (- 0.2100000000000002 / - 0.10000000000000009)$

$s_{2} = 100 \cdot 2.1$

$s_{2} = 210$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 100$ と共通比数: $r = 1.1$ を数式に代入します。

$a_{n} = 100 \cdot {1.1}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 100$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 100 \cdot {1.1}^{2 - 1} = 100 \cdot {1.1}^{1} = 100 \cdot 1.1 = 110.00000000000001$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 100 \cdot {1.1}^{3 - 1} = 100 \cdot {1.1}^{2} = 100 \cdot 1.2100000000000002 = 121.00000000000001$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 100 \cdot {1.1}^{4 - 1} = 100 \cdot {1.1}^{3} = 100 \cdot 1.3310000000000004 = 133.10000000000005$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 100 \cdot {1.1}^{5 - 1} = 100 \cdot {1.1}^{4} = 100 \cdot 1.4641000000000004 = 146.41000000000005$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 100 \cdot {1.1}^{6 - 1} = 100 \cdot {1.1}^{5} = 100 \cdot 1.6105100000000006 = 161.05100000000004$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 100 \cdot {1.1}^{7 - 1} = 100 \cdot {1.1}^{6} = 100 \cdot 1.7715610000000008 = 177.1561000000001$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 100 \cdot {1.1}^{8 - 1} = 100 \cdot {1.1}^{7} = 100 \cdot 1.9487171000000012 = 194.87171000000012$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 100 \cdot {1.1}^{9 - 1} = 100 \cdot {1.1}^{8} = 100 \cdot 2.1435888100000016 = 214.35888100000017$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 100 \cdot {1.1}^{10 - 1} = 100 \cdot {1.1}^{9} = 100 \cdot 2.357947691000002 = 235.7947691000002$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列