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解答 - 完全平方を用いた二次方程式の解法

x_{1} = + 1 \cdot i

x_1=+1\cdoti

x_{2} = - 1 \cdot i

x_2=-1\cdoti

手順を見る

手順を追って説明

1. 等式の左側にすべての項を移動します

$x^{2} + 2 = 1$

両側から-1を差し引く:

$x^{2} + 2 - 1 = 1 - 1$

数式を単純化します

$x^{2} + 1 = 0$

2. 係数を識別します

二次方程式の標準形、 $a x^{2} + b x + c = 0$ 、を使って方程式の係数を求めます：

$x^{2} + 1 = 0$

$a = 1$
$b = 0$
$c = 1$

3. 右側の等式に定数を移動し、組み合わせます

等式の両側に $1$ を追加します：

$x^{2} + 0 x + 1 = 0$

$x^{2} + 0 x + 1 - 1 = 0 - 1$

$x^{2} + 0 x = - 1$

4. 四角を完成させます

方程式の左側を完全平方三項式にするため、新たな定数 ${(\frac{b}{2})}^{2}$ を等式に追加します：

$b = 0$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{0}{2})}^{2}$

指数の分数規則 ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ を使用します

${(\frac{0}{2})}^{2} = \frac{0^{2}}{2^{2}}$

$\frac{0^{2}}{2^{2}} = \frac{0}{4}$

$\frac{0}{4} = 0$

等式の両側に $0$ を追加します：

$x^{2} + 0 x = - 1$

$x^{2} + 0 x + 0 = - 1 + 0$

ゼロの追加を削除する:

$x^{2} + 0 x + 0 = - 1$

完全平方三項式が完成しました、 $b$ の係数の半分、 $\frac{b}{2}$ を加えて、完全平方形に書き換えます：
$b = 0$

$\frac{b}{2} = \frac{0}{2}$

ゼロ分子を減らす:

$\frac{b}{2} = 0$

$x^{2} + 0 x + 0 = - 1$

${(x + 0)}^{2} = - 1$

5. $x$ を解く

等式の両側の平方根を計算します：重要：定数の平方根を取るときは、正と負の2つの解が得られます

${(x + 0)}^{2} = - 1$

$\sqrt{{(x + 0)}^{2}} = \sqrt{- 1}$

方程式の左側の平方と平方根を打ち消します:

$x + 0 = \pm \sqrt{- 1}$

両方の側からを引く

$x + 0 + 0 = \pm \sqrt{- 1}$

左側を簡単にする:

$x = \pm \sqrt{- 1}$

負の数の平方根は実数の集合には存在しません。代わりに、虚数"i"を導入します。これは負の1の平方根です。 $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 1} = \sqrt{1} \cdot \sqrt{- 1}$

$\sqrt{1} \cdot \sqrt{- 1} = \sqrt{1} \cdot i$

$x = 0 \pm 1 \cdot i$

$x_{1} = + 1 \cdot i$
$x_{2} = - 1 \cdot i$

私たちはどうでしたか？

フィードバックをいただければ幸いです

なぜこれを学ぶのか

最も基本的な機能である二次方程式は、円、楕円、放物線などの形を定義します。これらの形は、サッカー選手が蹴ったボールや大砲から発射された物体の軌跡を予測するために使われます。
物体の宇宙空間での運動については、太陽系における惑星の公転を考えるのが最も良いでしょう。二次方程式は、惑星の軌道が円ではなく楕円であることを確立しました。物体が停止した後でも、二次方程式を用いてその軌道と速度を予測することが可能です。この情報を用いて、自動車業界は衝突を防ぐためのブレーキを設計します。多くの業界では、二次方程式を用いて製品の寿命や安全性を予測し、それによって製品を改良しています。

用語とトピック

二次方程式を完全平方で解く