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解答 - 完全平方を用いた二次方程式の解法

厳密な形:

w_{1} = - 14 + \sqrt{183}

w_1=-14+\sqrt{183}

w_{2} = - 14 - \sqrt{183}

w_2=-14-\sqrt{183}

小数形式:

w_{1} = - 0.472

w_1=-0.472

w_{2} = - 27.528

w_2=-27.528

手順を見る

手順を追って説明

1. 係数を識別します

二次方程式の標準形、 $a x^{2} + b x + c = 0$ 、を使って方程式の係数を求めます：

$w^{2} + 28 w + 13 = 0$

$a = 1$
$b = 28$
$c = 13$

2. 右側の等式に定数を移動し、組み合わせます

等式の両側に $13$ を追加します：

$w^{2} + 28 w + 13 = 0$

$w^{2} + 28 w + 13 - 13 = 0 - 13$

$w^{2} + 28 w = - 13$

3. 四角を完成させます

方程式の左側を完全平方三項式にするため、新たな定数 ${(\frac{b}{2})}^{2}$ を等式に追加します：

$b = 28$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{28}{2})}^{2}$

指数の分数規則 ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ を使用します

${(\frac{28}{2})}^{2} = \frac{28^{2}}{2^{2}}$

$\frac{28^{2}}{2^{2}} = \frac{784}{4}$

$\frac{784}{4} = \frac{196}{1}$

等式の両側に $196$ を追加します：

2追加のsteps

$w^{2} + 28 w = - 13$

$w^{2} + 28 w + \frac{196}{1} = - 13 + \frac{196}{1}$

一による除算:

$w^{2} + 28 w + \frac{196}{1} = - 13 + 196$

算術を簡略化する:

$w^{2} + 28 w + \frac{196}{1} = 183$

完全平方三項式が完成しました、 $b$ の係数の半分、 $\frac{b}{2}$ を加えて、完全平方形に書き換えます：
$b = 28$

2追加のsteps

$\frac{b}{2} = \frac{28}{2}$

分子と分母の最大公約数を見つける:

$\frac{b}{2} = \frac{(14 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)}$

最大公約数を取り出してキャンセルする:

$\frac{b}{2} = 14$

$w^{2} + 28 w + \frac{196}{1} = 183$

${(w + 14)}^{2} = 183$

4. $x$ を解く

等式の両側の平方根を計算します：重要：定数の平方根を取るときは、正と負の2つの解が得られます

${(w + 14)}^{2} = 183$

$\sqrt{{(w + 14)}^{2}} = \sqrt{183}$

方程式の左側の平方と平方根を打ち消します:

$w + 14 = \pm \sqrt{183}$

両方の側から $14$ を引く

$w + 14 - 14 = - 14 \pm \sqrt{183}$

左側を簡単にする:

$w = - 14 \pm \sqrt{183}$

$w_{1} = - 14 + \sqrt{183}$
$w_{2} = - 14 - \sqrt{183}$

私たちはどうでしたか？

フィードバックをいただければ幸いです

なぜこれを学ぶのか

最も基本的な機能である二次方程式は、円、楕円、放物線などの形を定義します。これらの形は、サッカー選手が蹴ったボールや大砲から発射された物体の軌跡を予測するために使われます。
物体の宇宙空間での運動については、太陽系における惑星の公転を考えるのが最も良いでしょう。二次方程式は、惑星の軌道が円ではなく楕円であることを確立しました。物体が停止した後でも、二次方程式を用いてその軌道と速度を予測することが可能です。この情報を用いて、自動車業界は衝突を防ぐためのブレーキを設計します。多くの業界では、二次方程式を用いて製品の寿命や安全性を予測し、それによって製品を改良しています。

用語とトピック

二次方程式を完全平方で解く