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解答 - 完全平方を用いた二次方程式の解法

厳密な形:

y_{1} = \frac{7}{10} + \frac{\sqrt{29}}{10}

y_1=\frac{7}{10}+\frac{\sqrt{29}}{10}

y_{2} = \frac{7}{10} - \frac{\sqrt{29}}{10}

y_2=\frac{7}{10}-\frac{\sqrt{29}}{10}

小数形式:

y_{1} = 1.239

y_1=1.239

y_{2} = 0.161

y_2=0.161

手順を見る

手順を追って説明

1. 係数を識別します

二次方程式の標準形、 $a x^{2} + b x + c = 0$ 、を用いて係数を求めます：

$5 y^{2} - 7 y + 1 = 0$

$a = 5$
$b = - 7$
$c = 1$ 上記は数学的な表現なので翻訳する必要はありません。ただし、下記のように日本語の利用者に説明することは可能です：これは標準的な二次方程式です。

ここで、aは単純化されたa係数です。
bは単純化されたb係数です。
そして、cは単純化されたc係数です。

2. aの係数を1に等しいものにします

$a = 5$ であるため、方程式の両側の全ての係数と定数を $5$ で割ります：

$5 y^{2} - 7 y + 1 = 0$

$\frac{5}{5} y^{2} - 7 \frac{y}{5} + \frac{1}{5} = \frac{0}{5}$

数式を単純化します

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{1}{5} = 0$

ここで係数は次の通りです：
$a = 1$
$b = - \frac{7}{5}$
$c = \frac{1}{5}$

3. 右側の等式に定数を移動し、組み合わせます

等式の両側に $\frac{1}{5}$ を追加します：

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{1}{5} = 0$

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} = 0 - \frac{1}{5}$

$y^{2} - \frac{7}{5} y = - \frac{1}{5}$

4. 四角を完成させます

方程式の左側を完全平方三項式にするため、新たな定数 ${(\frac{b}{2})}^{2}$ を等式に追加します：

$b = - \frac{7}{5}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- \frac{7}{5}}{2})}^{2}$

指数の分数規則 ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ を使用します

${(\frac{- \frac{7}{5}}{2})}^{2} = \frac{{(- \frac{7}{5})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(- \frac{7}{5})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{49}{25}}{4}$

$\frac{\frac{49}{25}}{4} = \frac{49}{25} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{49}{25} \cdot \frac{1}{4} = \frac{49}{100}$

等式の両側に $\frac{49}{100}$ を追加します：

5追加のsteps

$y^{2} - \frac{7}{5} y = - \frac{1}{5}$

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{49}{100} = - \frac{1}{5} + \frac{49}{100}$

最小公倍数を見つける:

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{49}{100} = \frac{(- 1 \cdot 20)}{(5 \cdot 20)} + \frac{49}{100}$

分母を掛ける:

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{49}{100} = \frac{(- 1 \cdot 20)}{100} + \frac{49}{100}$

分子を掛ける:

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{49}{100} = \frac{- 20}{100} + \frac{49}{100}$

分数を結合する:

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{49}{100} = \frac{(- 20 + 49)}{100}$

分子を合わせる:

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{49}{100} = \frac{29}{100}$

完全平方三項式が完成しました、 $b$ の係数の半分、 $\frac{b}{2}$ を加えて、完全平方形に書き換えます：
$b = - \frac{7}{5}$

2追加のsteps

$\frac{b}{2} = \frac{- \frac{7}{5}}{2}$

除算を簡素化する:

$\frac{b}{2} = \frac{- 7}{(5 \cdot 2)}$

算術を簡略化する:

$\frac{b}{2} = \frac{- 7}{10}$

$y^{2} - \frac{7}{5} y + \frac{49}{100} = \frac{29}{100}$

${(y - \frac{7}{10})}^{2} = \frac{29}{100}$

5. $x$ を解く

等式の両側の平方根を計算します：重要：定数の平方根を取るときは、正と負の2つの解が得られます

${(y - \frac{7}{10})}^{2} = \frac{29}{100}$

$\sqrt{{(y - \frac{7}{10})}^{2}} = \sqrt{\frac{29}{100}}$

方程式の左側の平方と平方根を打ち消します:

$y - \frac{7}{10} = \pm \sqrt{\frac{29}{100}}$

両方の側に $\frac{7}{10}$ を加える

$y - \frac{7}{10} + \frac{7}{10} = \frac{7}{10} \pm \sqrt{\frac{29}{100}}$

左側を簡単にする:

$y = \frac{7}{10} \pm \sqrt{\frac{29}{100}}$

$y = \frac{7}{10} \pm \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{100}}$

$y = \frac{7}{10} \pm \frac{\sqrt{29}}{10}$

$y_{1} = \frac{7}{10} + \frac{\sqrt{29}}{10}$
$y_{2} = \frac{7}{10} - \frac{\sqrt{29}}{10}$

私たちはどうでしたか？

フィードバックをいただければ幸いです

なぜこれを学ぶのか

最も基本的な機能である二次方程式は、円、楕円、放物線などの形を定義します。これらの形は、サッカー選手が蹴ったボールや大砲から発射された物体の軌跡を予測するために使われます。
物体の宇宙空間での運動については、太陽系における惑星の公転を考えるのが最も良いでしょう。二次方程式は、惑星の軌道が円ではなく楕円であることを確立しました。物体が停止した後でも、二次方程式を用いてその軌道と速度を予測することが可能です。この情報を用いて、自動車業界は衝突を防ぐためのブレーキを設計します。多くの業界では、二次方程式を用いて製品の寿命や安全性を予測し、それによって製品を改良しています。

用語とトピック

二次方程式を完全平方で解く