解答 - 完全平方を用いた二次方程式の解法

$$a=3$$であるため、方程式の両側の全ての係数と定数を$$3$$で割ります：

$$3n^2-53n-224=0$$

$$\frac{3}{3}{n}^2-53\frac{n}{3}-\frac{224}{3}=\frac{0}{3}$$

$$n^2-\frac{53}{3}n-\frac{224}{3}=0$$

ここで係数は次の通りです：
$$a=1$$
$$b=-\frac{53}{3}$$
$$c=-\frac{224}{3}$$

等式の両側に$$\frac{224}{3}$$を追加します：

$$n^2-\frac{53}{3}n-\frac{224}{3}=0$$

$$n^2-\frac{53}{3}n-\frac{224}{3}+\frac{224}{3}=0+\frac{224}{3}$$

$$n^2-\frac{53}{3}n=\frac{224}{3}$$

方程式の左側を完全平方三項式にするため、新たな定数$${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$を等式に追加します：

$$b=-\frac{53}{3}$$

等式の両側に$$\frac{2809}{36}$$を追加します：

完全平方三項式が完成しました、$$b$$の係数の半分、$$\frac{b}{2}$$を加えて、完全平方形に書き換えます：
$$b=-\frac{53}{3}$$

$$n^2-\frac{53}{3}n+\frac{2809}{36}=\frac{5497}{36}$$

$${\left(n-\frac{53}{6}\right)}^2=\frac{5497}{36}$$

等式の両側の平方根を計算します： 重要：定数の平方根を取るときは、正と負の2つの解が得られます

$${\left(n-\frac{53}{6}\right)}^2=\frac{5497}{36}$$

$$\sqrt{{\left(n-\frac{53}{6}\right)}^2}=\sqrt{\frac{5497}{36}}$$

$$n-\frac{53}{6}=\pm \sqrt{\frac{5497}{36}}$$

$$n-\frac{53}{6}+\frac{53}{6}=\frac{53}{6}\pm \sqrt{\frac{5497}{36}}$$

$$n=\frac{53}{6}\pm \sqrt{\frac{5497}{36}}$$

$$n=\frac{53}{6}\pm \frac{\sqrt{5497}}{\sqrt{36}}$$

$$n=\frac{53}{6}\pm \frac{\sqrt{5497}}{6}$$

$$n_1=\frac{53}{6}+\frac{\sqrt{5497}}{6}$$
$$n_2=\frac{53}{6}-\frac{\sqrt{5497}}{6}$$