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解答 - 完全平方を用いた二次方程式の解法

厳密な形:

x_{1} = - \frac{5347}{4284} + \sqrt{39.201}

x_1=-\frac{5347}{4284}+\sqrt{39.201}

x_{2} = - \frac{5347}{4284} - \sqrt{39.201}

x_2=-\frac{5347}{4284}-\sqrt{39.201}

小数形式:

x_{1} = 5.013

x_1=5.013

x_{2} = - 7.509

x_2=-7.509

手順を見る

手順を追って説明

1. 係数を識別します

二次方程式の標準形、 $a x^{2} + b x + c = 0$ 、を用いて係数を求めます：

$2142 x^{2} + 5347 x - 80632 = 0$

$a = 2, 142$
$b = 5, 347$
$c = - 80632$ 上記は数学的な表現なので翻訳する必要はありません。ただし、下記のように日本語の利用者に説明することは可能です：これは標準的な二次方程式です。

ここで、aは単純化されたa係数です。
bは単純化されたb係数です。
そして、cは単純化されたc係数です。

2. aの係数を1に等しいものにします

$a = 2, 142$ であるため、方程式の両側の全ての係数と定数を $2, 142$ で割ります：

$2142 x^{2} + 5347 x - 80632 = 0$

$\frac{2142}{2142} x^{2} + 5347 \frac{x}{2142} - \frac{80632}{2142} = \frac{0}{2142}$

数式を単純化します

$x^{2} + \frac{5347}{2142} x - 37.643 = 0$

ここで係数は次の通りです：
$a = 1$
$b = \frac{5347}{2142}$
$c = - 37.643323996265172735760971055$

3. 右側の等式に定数を移動し、組み合わせます

等式の両側に $- 37.643323996265172735760971055$ を追加します：

$x^{2} + \frac{5347}{2142} x - 37.643 = 0$

$x^{2} + \frac{5347}{2142} x - 37.643 + 37.643 = 0 + 37.643$

$x^{2} + \frac{5347}{2142} x = 37.643$

4. 四角を完成させます

方程式の左側を完全平方三項式にするため、新たな定数 ${(\frac{b}{2})}^{2}$ を等式に追加します：

$b = \frac{5347}{2142}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{\frac{5347}{2142}}{2})}^{2}$

指数の分数規則 ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ を使用します

${(\frac{\frac{5347}{2142}}{2})}^{2} = \frac{{(\frac{5347}{2142})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(\frac{5347}{2142})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{28590409}{4588164}}{4}$

$\frac{\frac{28590409}{4588164}}{4} = \frac{28590409}{4588164} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{28590409}{4588164} \cdot \frac{1}{4} = \frac{28590409}{18352656}$

等式の両側に $\frac{28590409}{18352656}$ を追加します：

2追加のsteps

$x^{2} + \frac{5347}{2142} x = 37.643$

$x^{2} + \frac{5347}{2142} x + \frac{28590409}{18352656} = 37.643 + \frac{28590409}{18352656}$

加算のための分数を割る:

$x^{2} + \frac{5347}{2142} x + \frac{28590409}{18352656} = 37.643 + 1.5578$

算術を簡略化する:

$x^{2} + \frac{5347}{2142} x + \frac{28590409}{18352656} = 39.2008$

完全平方三項式が完成しました、 $b$ の係数の半分、 $\frac{b}{2}$ を加えて、完全平方形に書き換えます：
$b = \frac{5347}{2142}$

2追加のsteps

$\frac{b}{2} = \frac{\frac{5347}{2142}}{2}$

除算を簡素化する:

$\frac{b}{2} = \frac{5347}{(2142 \cdot 2)}$

算術を簡略化する:

$\frac{b}{2} = \frac{5347}{4284}$

$x^{2} + \frac{5347}{2142} x + \frac{28590409}{18352656} = 39.2008$

${(x + \frac{5347}{4284})}^{2} = 39.201$

5. $x$ を解く

等式の両側の平方根を計算します：重要：定数の平方根を取るときは、正と負の2つの解が得られます

${(x + \frac{5347}{4284})}^{2} = 39.201$

$\sqrt{{(x + \frac{5347}{4284})}^{2}} = \sqrt{39.201}$

方程式の左側の平方と平方根を打ち消します:

$x + \frac{5347}{4284} = \pm \sqrt{39.201}$

両方の側から $\frac{5347}{4284}$ を引く

$x + \frac{5347}{4284} - \frac{5347}{4284} = - \frac{5347}{4284} \pm \sqrt{39.201}$

左側を簡単にする:

$x = - \frac{5347}{4284} \pm \sqrt{39.201}$

$x_{1} = - \frac{5347}{4284} + \sqrt{39.201}$
$x_{2} = - \frac{5347}{4284} - \sqrt{39.201}$

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なぜこれを学ぶのか

最も基本的な機能である二次方程式は、円、楕円、放物線などの形を定義します。これらの形は、サッカー選手が蹴ったボールや大砲から発射された物体の軌跡を予測するために使われます。
物体の宇宙空間での運動については、太陽系における惑星の公転を考えるのが最も良いでしょう。二次方程式は、惑星の軌道が円ではなく楕円であることを確立しました。物体が停止した後でも、二次方程式を用いてその軌道と速度を予測することが可能です。この情報を用いて、自動車業界は衝突を防ぐためのブレーキを設計します。多くの業界では、二次方程式を用いて製品の寿命や安全性を予測し、それによって製品を改良しています。

用語とトピック

二次方程式を完全平方で解く