解答 - 完全平方を用いた二次方程式の解法

$$a=-6$$であるため、方程式の両側の全ての係数と定数を$$-6$$で割ります：

$$-6z^2-9z-2=0$$

$$-\frac{6}{-}6z^2-9\frac{z}{-}6-\frac{2}{-}6=\frac{0}{-}6$$

$$z^2+\frac{3}{2}z+\frac{1}{3}=0$$

ここで係数は次の通りです：
$$a=1$$
$$b=\frac{3}{2}$$
$$c=\frac{1}{3}$$

等式の両側に$$\frac{1}{3}$$を追加します：

$$z^2+\frac{3}{2}z+\frac{1}{3}=0$$

$$z^2+\frac{3}{2}z+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0-\frac{1}{3}$$

$$z^2+\frac{3}{2}z=-\frac{1}{3}$$

方程式の左側を完全平方三項式にするため、新たな定数$${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$を等式に追加します：

$$b=\frac{3}{2}$$

等式の両側に$$\frac{9}{16}$$を追加します：

完全平方三項式が完成しました、$$b$$の係数の半分、$$\frac{b}{2}$$を加えて、完全平方形に書き換えます：
$$b=\frac{3}{2}$$

$$z^2+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}=\frac{11}{48}$$

$${\left(z+\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{11}{48}$$

等式の両側の平方根を計算します： 重要：定数の平方根を取るときは、正と負の2つの解が得られます

$${\left(z+\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{11}{48}$$

$$\sqrt{{\left(z+\frac{3}{4}\right)}^2}=\sqrt{\frac{11}{48}}$$

$$z+\frac{3}{4}=\pm \sqrt{\frac{11}{48}}$$

$$z+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}\pm \sqrt{\frac{11}{48}}$$

$$z=-\frac{3}{4}\pm \sqrt{\frac{11}{48}}$$

$$z=-\frac{3}{4}\pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{48}}$$

$$z=-\frac{3}{4}\pm \frac{\sqrt{11}·\sqrt{48}}{\sqrt{48}·\sqrt{48}}$$

$$z=-\frac{3}{4}\pm \frac{\sqrt{528}}{48}$$

$$z=-\frac{3}{4}\pm \frac{\sqrt{2·2·2·2·3·11}}{48}$$

$$z=-\frac{3}{4}\pm \frac{\sqrt{2^2·2^2·3·11}}{48}$$

$$z=-\frac{3}{4}\pm \frac{2·2·\sqrt{3·11}}{48}$$

$$z=-\frac{3}{4}\pm \frac{4·\sqrt{3·11}}{48}$$

$$z=-\frac{3}{4}\pm \frac{4·\sqrt{33}}{48}$$

$$z=-\frac{3}{4}\pm \frac{\sqrt{33}}{12}$$

$$z_1=-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{33}}{12}$$
$$z_2=-\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{33}}{12}$$