解答 - 完全平方を用いた二次方程式の解法

二次方程式の標準形、$$a{x}^2+bx+c=0$$、を使って方程式の係数を求めます：

$$x^2-1x-8=0$$

$$a=1$$
$$b=-1$$
$$c=-8$$

等式の両側に$$8$$を追加します：

$$x^2-1x-8=0$$

$$x^2-1x-8+8=0+8$$

$$x^2-1x=8$$

方程式の左側を完全平方三項式にするため、新たな定数$${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$を等式に追加します：

$$b=-1$$

等式の両側に$$\frac{1}{4}$$を追加します：

完全平方三項式が完成しました、$$b$$の係数の半分、$$\frac{b}{2}$$を加えて、完全平方形に書き換えます：
$$b=-1$$

$$x^2-1x+\frac{1}{4}=\frac{33}{4}$$

$${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{33}{4}$$

等式の両側の平方根を計算します： 重要：定数の平方根を取るときは、正と負の2つの解が得られます

$${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{33}{4}$$

$$\sqrt{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{33}{4}}$$

$$x-\frac{1}{2}=\pm \sqrt{\frac{33}{4}}$$

$$x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{33}{4}}$$

$$x=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{33}{4}}$$

$$x=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{4}}$$

$$x=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{33}}{2}$$

$$x_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{33}}{2}$$
$$x_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{33}}{2}$$