解答 - 完全平方を用いた二次方程式の解法

$$9v^2-5v=5$$

$$9v^2-5v-5=5-5$$

$$9v^2-5v-5=0$$

二次方程式の標準形、$$a{x}^2+bx+c=0$$、を用いて係数を求めます：

$$9v^2-5v-5=0$$

$$a=9$$
$$b=-5$$
$$c=-5$$ 上記は数学的な表現なので翻訳する必要はありません。ただし、下記のように日本語の利用者に説明することは可能です： これは標準的な二次方程式です。

ここで、aは単純化されたa係数です。
bは単純化されたb係数です。
そして、cは単純化されたc係数です。

$$a=9$$であるため、方程式の両側の全ての係数と定数を$$9$$で割ります：

$$9v^2-5v-5=0$$

$$\frac{9}{9}{v}^2-5\frac{v}{9}-\frac{5}{9}=\frac{0}{9}$$

$$v^2-\frac{5}{9}v-\frac{5}{9}=0$$

ここで係数は次の通りです：
$$a=1$$
$$b=-\frac{5}{9}$$
$$c=-\frac{5}{9}$$

等式の両側に$$\frac{5}{9}$$を追加します：

$$v^2-\frac{5}{9}v-\frac{5}{9}=0$$

$$v^2-\frac{5}{9}v-\frac{5}{9}+\frac{5}{9}=0+\frac{5}{9}$$

$$v^2-\frac{5}{9}v=\frac{5}{9}$$

方程式の左側を完全平方三項式にするため、新たな定数$${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$を等式に追加します：

$$b=-\frac{5}{9}$$

等式の両側に$$\frac{25}{324}$$を追加します：

完全平方三項式が完成しました、$$b$$の係数の半分、$$\frac{b}{2}$$を加えて、完全平方形に書き換えます：
$$b=-\frac{5}{9}$$

$$v^2-\frac{5}{9}v+\frac{25}{324}=\frac{205}{324}$$

$${\left(v-\frac{5}{18}\right)}^2=\frac{205}{324}$$

等式の両側の平方根を計算します： 重要：定数の平方根を取るときは、正と負の2つの解が得られます

$${\left(v-\frac{5}{18}\right)}^2=\frac{205}{324}$$

$$\sqrt{{\left(v-\frac{5}{18}\right)}^2}=\sqrt{\frac{205}{324}}$$

$$v-\frac{5}{18}=\pm \sqrt{\frac{205}{324}}$$

$$v-\frac{5}{18}+\frac{5}{18}=\frac{5}{18}\pm \sqrt{\frac{205}{324}}$$

$$v=\frac{5}{18}\pm \sqrt{\frac{205}{324}}$$

$$v=\frac{5}{18}\pm \frac{\sqrt{205}}{\sqrt{324}}$$

$$v=\frac{5}{18}\pm \frac{\sqrt{205}}{18}$$

$$v_1=\frac{5}{18}+\frac{\sqrt{205}}{18}$$
$$v_2=\frac{5}{18}-\frac{\sqrt{205}}{18}$$