タイガー代数計算器

組み合わせとは、順序が問わずにセットからアイテムを配置する方法です。例えば、9つのリストからランダムに3つの数字を選ぶ場合、$$1$$、$$7$$、$$4$$の順番で選んでも、$$7$$、$$1$$、$$4$$の順番で選んでも同じです。
順列は、順序が重要なセットから要素を配置する方法です。これの例としては、ロックのコードがあります。コードが$$1、7、4$$であれば、$$1、4、7$$や$$4、7、1$$の他の順番では入力できません。
セットにアイテムが一つ以上ある限り、順列の方が組み合わせよりも多くなります。

組み合わせと順列は繰り返しの有無に関係なく発生し、つまり、一つ以上のアイテムを複数回含むか、それとも含まないかです。これがそれほど違いを生むようには見えませんが、セット内のアイテムを繰り返すと、結構な違いが生じます。

記法
$$n$$は通常、セット内のアイテムの総数を表します。
$$k$$は通常、選択したサブセット内のアイテムの数を表します。
$$C$$は通常、組み合わせを表します。
$$P$$は通常、順列を表します。

$$P\left(n,k\right)$$は、大きなセット($$n$$)からのサブセット($$k$$)の異なる順列の数を表し、下記のようにも書けます：
欠落したイメージ
$$C\left(n,k\right)$$は、大きなセット($$n$$)からのサブセット($$k$$)の異なる組み合わせの数を表し、下記のようにも書けます：
欠落したイメージ

この記法は、しばしば「nからkを選択する」とも呼ばれます。

公式
順列と組み合わせの解決には階乗関数を使用します。

繰り返し可能な順列
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
例: 繰り返しが可能な状況で、全体の9つのアイテムから部分集合の3つを選ぶ異なる順列はいくつあるでしょうか?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$を参照

繰り返しなしの順列
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
例: 繰り返しが不可能な状況で、全体の9つのアイテムから部分集合の3つを選ぶ異なる順列はいくつあるでしょうか?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

繰り返し可能な組み合わせ
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
例: 繰り返しが可能な状況で、全体の9つのアイテムから部分集合の3つを選ぶ異なる組み合わせはいくつあるでしょうか?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

繰り返しなしの組み合わせこのドリルへのリンク
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
例: 繰り返しが不可能な状況で、全体の9つのアイテムから部分集合の3つを選ぶ異なる組み合わせはいくつあるでしょうか?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$