Calcolatrice Tiger Algebra
Systèmes d'équations linéaires
Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, die eine gerade Linie repräsentiert. Sie hat normalerweise Konstanten und Variablen, die keine Exponenten oder Wurzeln enthalten können, und wird normalerweise in einer der folgenden Möglichkeiten geschrieben:
Punkt-Steigungs-Form
Zum Beispiel:
Steigungsschnittform
Zum Beispiel:
Standard Form
Zum Beispiel:
Wichtig: In dieser Form können und beide nicht Null sein ().
Obwohl diese Gleichungen alle unterschiedlich aussehen, repräsentieren sie eigentlich alle die gleiche Linie. Wenn Sie Zugang zu einem grafischen Rechner haben, versuchen Sie, jede Gleichung zu plotten und die Ergebnisse zu vergleichen. Die Graphen werden alle die gleichen sein!
Systeme von linearen Gleichungen
Manchmal bekommen wir zwei oder mehr Gleichungen, die durch den gleichen Variablen oder Variablen wahr gemacht werden können.
Zum Beispiel:
Wenn und , sind beide Gleichungen wahr.
Diese werden als Systeme von linearen Gleichungen bezeichnet und wir können ihre Variablen mit einer von zwei Methoden finden: Elimination und Substitution.
Durch Elimination lösen
Hauptschritte zur Lösung eines Systems von linearen Gleichungen durch Elimination:
1. Schreiben Sie die Gleichungen so um, dass die Variablen in der gleichen Reihenfolge stehen:
werden zu
2. Multiplizieren Sie eine oder beide der Gleichungen mit Nicht-Null-Zahlen, die einen Satz von Termen aufheben würden, wenn sie addiert oder subtrahiert werden:
werden zu
3. Addieren oder subtrahieren Sie die Gleichungen, um ihre gemeinsame Variable zu eliminieren:
4. Lösen Sie die Gleichung, um die verbleibende Variable zu isolieren:
5. Stecken Sie diese Variable in eine der ursprünglichen Gleichungen und vereinfachen Sie, um die verbleibende Variable zu isolieren:
Die Variablen, die beide Gleichungen erfüllen, sind und oder
6. Wiederholen Sie dies bei Bedarf, beispielsweise wenn mehr als zwei lineare Gleichungen im System vorhanden sind.
Durch Substitution lösen
Hauptschritte zur Lösung eines Systems von linearen Gleichungen durch Substitution:
1. Lösen Sie für oder in einer der Gleichungen, indem Sie die Variable isolieren:
2. Stecken Sie die resultierende Variable in die andere Gleichung und lösen Sie:
3. Stecken Sie die resultierende Variable in eine der ursprünglichen Gleichungen und lösen Sie:
Die Variablen, die beide Gleichungen erfüllen, sind und oder
4. Wiederholen Sie dies bei Bedarf, beispielsweise wenn mehr als zwei lineare Gleichungen im System vorhanden sind.
Es gibt drei mögliche Lösungsarten für Systeme von linearen Gleichungen:
Keine Lösung : Es gibt keine Variablen, die alle Gleichungen im System wahr machen würden. Auf einem Graphen berühren sich die Linien, die die Gleichungen darstellen, nicht. Wenn es sich um lineare Gleichungen handelt, würden diese Linien parallel zueinander verlaufen.
Eine Lösung : Es gibt einen Satz von Variablen, der alle Gleichungen im System wahr machen würde. Auf einem Graphen kreuzen sich die Linien, die die Gleichungen darstellen, einmal. Der Punkt, an dem sie sich kreuzen, ist die Lösung für das System.
Unendlich viele Lösungen : Es gibt eine unendliche Anzahl von Variablen, die alle Gleichungen in den Systemen wahr machen würden. Dies tritt auf, wenn alle Gleichungen im System die gleiche sind oder Variationen der gleichen Gleichung darstellen und daher die gleiche Linie darstellen.
Weitere relevante Begriffe:
Konsistente Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind konsistent, wenn sie eine oder unendlich viele Lösungen teilen. Zum Beispiel: und sind konsistent, weil sie eine Lösung teilen.
Inkonsistente Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind inkonsistent, wenn sie keine Lösungen teilen, d.h. ihre Linien haben keine gemeinsamen Punkte. Die Linien von inkonsistenten Gleichungen verlaufen parallel zueinander. Zum Beispiel: und sind inkonsistent, weil in jeder Gleichung einen anderen Wert hat, d.h. die Gleichungen teilen keine Lösungen.
Unabhängige Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind unabhängig, wenn sie verschiedene Linien darstellen.
Abhängige Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind abhängig, wenn sie die gleiche Linie darstellen, wodurch jede Gleichung unendlich viele Lösungen enthält. Abhängige Gleichungen treten auf, wenn eine Gleichung in verschiedenen Formen geschrieben ist. Zum Beispiel: und stellen die gleiche Linie dar und sind daher abhängig.
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, die eine gerade Linie repräsentiert. Sie hat normalerweise Konstanten und Variablen, die keine Exponenten oder Wurzeln enthalten können, und wird normalerweise in einer der folgenden Möglichkeiten geschrieben:
Punkt-Steigungs-Form
Zum Beispiel:
Steigungsschnittform
Zum Beispiel:
Standard Form
Zum Beispiel:
Wichtig: In dieser Form können und beide nicht Null sein ().
Obwohl diese Gleichungen alle unterschiedlich aussehen, repräsentieren sie eigentlich alle die gleiche Linie. Wenn Sie Zugang zu einem grafischen Rechner haben, versuchen Sie, jede Gleichung zu plotten und die Ergebnisse zu vergleichen. Die Graphen werden alle die gleichen sein!
Systeme von linearen Gleichungen
Manchmal bekommen wir zwei oder mehr Gleichungen, die durch den gleichen Variablen oder Variablen wahr gemacht werden können.
Zum Beispiel:
Wenn und , sind beide Gleichungen wahr.
Diese werden als Systeme von linearen Gleichungen bezeichnet und wir können ihre Variablen mit einer von zwei Methoden finden: Elimination und Substitution.
Durch Elimination lösen
Hauptschritte zur Lösung eines Systems von linearen Gleichungen durch Elimination:
1. Schreiben Sie die Gleichungen so um, dass die Variablen in der gleichen Reihenfolge stehen:
werden zu
2. Multiplizieren Sie eine oder beide der Gleichungen mit Nicht-Null-Zahlen, die einen Satz von Termen aufheben würden, wenn sie addiert oder subtrahiert werden:
werden zu
3. Addieren oder subtrahieren Sie die Gleichungen, um ihre gemeinsame Variable zu eliminieren:
4. Lösen Sie die Gleichung, um die verbleibende Variable zu isolieren:
5. Stecken Sie diese Variable in eine der ursprünglichen Gleichungen und vereinfachen Sie, um die verbleibende Variable zu isolieren:
Die Variablen, die beide Gleichungen erfüllen, sind und oder
6. Wiederholen Sie dies bei Bedarf, beispielsweise wenn mehr als zwei lineare Gleichungen im System vorhanden sind.
Durch Substitution lösen
Hauptschritte zur Lösung eines Systems von linearen Gleichungen durch Substitution:
1. Lösen Sie für oder in einer der Gleichungen, indem Sie die Variable isolieren:
2. Stecken Sie die resultierende Variable in die andere Gleichung und lösen Sie:
3. Stecken Sie die resultierende Variable in eine der ursprünglichen Gleichungen und lösen Sie:
Die Variablen, die beide Gleichungen erfüllen, sind und oder
4. Wiederholen Sie dies bei Bedarf, beispielsweise wenn mehr als zwei lineare Gleichungen im System vorhanden sind.
Es gibt drei mögliche Lösungsarten für Systeme von linearen Gleichungen:
Keine Lösung : Es gibt keine Variablen, die alle Gleichungen im System wahr machen würden. Auf einem Graphen berühren sich die Linien, die die Gleichungen darstellen, nicht. Wenn es sich um lineare Gleichungen handelt, würden diese Linien parallel zueinander verlaufen.
Eine Lösung : Es gibt einen Satz von Variablen, der alle Gleichungen im System wahr machen würde. Auf einem Graphen kreuzen sich die Linien, die die Gleichungen darstellen, einmal. Der Punkt, an dem sie sich kreuzen, ist die Lösung für das System.
Unendlich viele Lösungen : Es gibt eine unendliche Anzahl von Variablen, die alle Gleichungen in den Systemen wahr machen würden. Dies tritt auf, wenn alle Gleichungen im System die gleiche sind oder Variationen der gleichen Gleichung darstellen und daher die gleiche Linie darstellen.
Weitere relevante Begriffe:
Konsistente Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind konsistent, wenn sie eine oder unendlich viele Lösungen teilen. Zum Beispiel: und sind konsistent, weil sie eine Lösung teilen.
Inkonsistente Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind inkonsistent, wenn sie keine Lösungen teilen, d.h. ihre Linien haben keine gemeinsamen Punkte. Die Linien von inkonsistenten Gleichungen verlaufen parallel zueinander. Zum Beispiel: und sind inkonsistent, weil in jeder Gleichung einen anderen Wert hat, d.h. die Gleichungen teilen keine Lösungen.
Unabhängige Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind unabhängig, wenn sie verschiedene Linien darstellen.
Abhängige Gleichungen : Zwei oder mehr Gleichungen sind abhängig, wenn sie die gleiche Linie darstellen, wodurch jede Gleichung unendlich viele Lösungen enthält. Abhängige Gleichungen treten auf, wenn eine Gleichung in verschiedenen Formen geschrieben ist. Zum Beispiel: und stellen die gleiche Linie dar und sind daher abhängig.