Calcolatrice Tiger Algebra

Una sequenza geometrica, chiamata anche serie geometrica o progressione geometrica, è un insieme di numeri che si ottiene moltiplicando ogni numero precedente nell'insieme per una costante. Il fattore per il quale ogni termine successivo viene moltiplicato è chiamato rapporto comune perché è comune a tutti i termini dell'insieme. Il rapporto comune non può essere uguale a $$0$$ $$\left(r\ne 0\right)$$.
La forma standard delle sequenze geometriche può essere espressa nella forma:
$$a,a·r,a·r^2,a·r^3,a·r^{\mathrm{4...}}$$ in cui:

• $$a$$ indica il primo termine e talvolta viene scritto nella forma $$a_1$$.
• $$r$$ indica il rapporto comune.

Esempio: se il primo termine della sequenza è $$1$$ e il rapporto comune è $$3$$, allora ogni termine successivo si può ottenere moltiplicando il termine precedente per 3, e la sequenza sarà così espressa:
$$1,3,9,27,\mathrm{81...}$$
che può anche essere scritta nella forma:
$$1,1·3,1·3^2,1·3^3,1·3^{\mathrm{4...}}$$

Formule
Trova tutti i termini ($$a_n$$) in una sequenza geometrica:
$$a_n=a·r^{n-1}$$

• $$a$$ indica il primo termine.
• $$n$$ indica la posizione di un termine nella sequenza. Una sequenza con $$n$$ numero di termini, per esempio, sarebbe scritta nella forma:
  $$a,a·r,a·r^2,a·r^3,a·r^{\mathrm{4...}}a·r^{n-1}$$, in cui l'ultimo termine è elevato alla potenza di $$n-1$$ (dal momento che il primo termine è elevato alla potenza di $$0$$).
• $$r$$ indica il rapporto comune.

Esempio: per trovare il prossimo termine $$1,3,9,27,\mathrm{81...}$$ che sarebbe il 6° termine, inseriamo quanto segue nella formula generale dei termini, $$a_n=a·r^{n-1}$$:
$$a$$ (primo termine)$$=1$$
$$r$$ (rapporto comune)$$=3$$
$$n$$ (numero di termini)$$=6$$.

Così otteniamo $$a_6=1·3^{6-1}$$, che risolvendolo ci darebbe come risultato $$a_6=243$$. Così la nostra sequenza sarebbe la seguente: $$1,3,9,27,81,\mathrm{243...}$$

Calcolo della somma di tutti i termini di una sequenza geometrica:
$$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$

• $$s$$ è la somma dei termini della sequenza.
• $$a$$ indica il primo termine.
• $$n$$ indica la posizione di un termine nella sequenza.
• $$r$$ indica il rapporto comune.

Esempio: per calcolare la somma di $$1,3,9,27,81$$ inseriamo quanto segue nella formula della somma, $$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$:
$$a$$ (primo termine)$$=1$$
$$r$$ (rapporto comune)$$=3$$
$$n$$ (numero complessivo di termini)$$=5$$.

Così otteniamo $$s=1\left(\left(1-35\right)/\left(1-3\right)\right)$$, che risolvendolo ci darebbe come risultato $$s=121$$.