Calcolatrice Tiger Algebra

Una combinazione è un modo di ordinare gli elementi di un insieme quando il loro ordine non è rilevante. Un esempio potrebbe essere scegliere tre numeri a caso da un elenco di nove elementi. È irrilevante se scegli la sequenza $$1$$, $$7$$ e $$4$$ o la sequenza $$7$$, $$1$$ e $$4$$.
Una permutazione è un modo di ordinare in successione una serie di oggetti quando il loro ordine è rilevante. Un esempio potrebbe essere il codice di una serratura. Se il codice è $$1,7,4$$ allora non è possibile digitarlo nell'ordine $$1,4,7$$ o $$4,7,1$$ o in qualsiasi altro ordine.
Finché un insieme contiene più di un elemento, ci saranno sempre più permutazioni che combinazioni.

Sia le combinazioni che le permutazioni possono presentare o no ripetizioni, cioè possono contenere o no uno o più elementi più volte. Anche se ciò potrebbe sembrare irrilevante, la ripetizione di elementi in un insieme cambia radicalmente il nostro approccio nei suoi confronti.

Notazioni
$$n$$ indica generalmente il numero totale di elementi di un insieme.
$$k$$ indica generalmente il numero di elementi in un sottoinsieme selezionato.
$$C$$ indica generalmente le combinazioni.
$$P$$ indica generalmente le permutazioni.

$$P\left(n,k\right)$$ indica il numero di permutazioni diverse di un sottoinsieme ($$k$$) relativo a un insieme più grande ($$n$$), e può anche essere scritto nel modo seguente:
IMMAGINE MANCANTE
$$C\left(n,k\right)$$ indica il numero di combinazioni diverse di un sottoinsieme ($$k$$) relativo a un insieme più grande ($$n$$), e può anche essere scritto nel modo seguente:
IMMAGINE MANCANTE
Questa notazione è anche chiamata a volte "n sceglie k".

Formule
Usiamo la funzione fattoriale per risolvere permutazioni e combinazioni.

Permutazioni con ripetizione
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
PER ES.: quante permutazioni diverse di un sottoinsieme di $$3$$ elementi su un totale di $$9$$ sono possibili quando possono verificarsi delle ripetizioni?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

Permutazioni senza ripetizione
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
PER ES.: quante permutazioni diverse di un sottoinsieme di $$3$$ elementi su un totale di $$9$$ sono possibili quando non possono verificarsi delle ripetizioni?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

Combinazioni con ripetizione
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
PER ES.: quante combinazioni diverse di un sottoinsieme di $$3$$ elementi su un totale di $$9$$ sono possibili quando possono verificarsi delle ripetizioni?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

Combinazioni senza ripetizione link a questo esercizio
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
PER ES.: quante combinazioni diverse di un sottoinsieme di $$3$$ elementi su un totale di $$9$$ sono possibili quando non possono verificarsi delle ripetizioni?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$