Soluzione - Propriétés des ellipses

$$h$$ reflects the x-displacement from the center.
$$k$$ represents the y-offset from the center.
To find the values of $$h$$ and $$k$$, use the standard form of the vertical ellipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
Center: $$\left(0,0\right)$$

$$a$$ symbolizes the lengthier radius of the ellipse, equal to half of the main axis.
This is also known as the semi-major axis.
To figure out the value of $$a$$, use the standard form of the vertical ellipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1$$
$$a^2=8$$
Take the square root on both sides of the equation:
$$a=2,828$$

Parce que $$a$$ représente une distance, elle n'a qu'une valeur positive.

Dans une ellipse verticale, l'axe majeur est parallèle à l'axe des y et passe par les sommets de l'ellipse. Trouvez les sommets en ajoutant et en soustrayant $$a$$ de l'ordonnée ($$k$$) du centre.

To find vertex_1, add $$a$$ to the y-coordinate ($$k$$) of the center:
Vertex_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=2.828$$
Vertex_1: $$\left(0,0+2.828\right)$$
Vertex_1: $$\left(0;2.828\right)$$

To find vertex_2, subtract $$a$$ from the y-coordinate ($$k$$) of the center:
Vertex_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=2,828$$
Vertex_2: $$\left(0,0-2,828\right)$$
Vertex_2: $$\left(0;-2,828\right)$$

$$b$$ representa el radio más corto de la elipse, que equivale a la mitad del eje menor. Esto se llama el semieje menor.
Para encontrar el valor de $$b$$, use la forma estándar de la elipse vertical:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1$$
$$b^2=4$$
Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:
$$b=2$$
Dado que b representa una distancia, solo tiene un valor positivo.

En una elipse vertical, el eje menor corre paralelo al eje x y pasa por los co-vértices de la elipse.
Encuentra los co-vértices sumando y restando $$b$$ de la coordenada x ($$h$$) del centro.

Para encontrar el co-vértice_1, suma $$b$$ a la coordenada x ($$h$$) del centro:
Co-vertice_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=2$$
Co-vertice_1: $$\left(0+2,0\right)$$
Co-vertice_1: $$\left(2;0\right)$$

Para encontrar el co-vértice_2, resta $$b$$ de la coordenada x ($$h$$) del centro:
Co-vertice_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=2$$
Co-vertice_2: $$\left(0-2,0\right)$$
Co-vertice_2: $$\left(-2;0\right)$$

La longitud focal es la distancia desde el centro de la elipse hasta cada punto focal y normalmente se representa por $$f$$.

Para encontrar $$f$$, use la fórmula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=8$$
$$b^2=4$$
Introduce $$a^2$$ y $$b^2$$ en la fórmula y simplifica:

$$f=\sqrt{8-4}$$

$$f=\sqrt{4}$$

$$f=2$$

Parce que $$f$$ représente une distance, elle n'a qu'une valeur positive.

En una elipse vertical, el eje mayor corre paralelo al eje y y pasa por los focos.
Encuentra los focos sumando y restando $$f$$ de la coordenada y $$\left(k\right)$$ del centro.

Pour trouver focus_1, ajoutez $$f$$ à la coordonnée y $$\left(k\right)$$ du centre:
Focus_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=2$$
Focus_1: $$\left(0,0+2\right)$$
Focus_1: $$\left(0;2\right)$$

Pour trouver focus_2, soustrayez $$f$$ de la coordonnée y $$\left(k\right)$$ du centre:
Focus_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=2$$
Focus_2: $$\left(0,0-2\right)$$
Focus_2: $$\left(0;-2\right)$$

-

$$\pi ·2,828·2$$

$$\pi ·5,656$$

La zone est égale à $$5,656\pi$$

-

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1$$

$$\frac{x^2}{4}+\frac{0^2}{8}=1$$

$$x_1=2$$

$$x_2=-2$$

-

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1$$

$$\frac{0^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1$$

$$y_1=2,828$$

$$y_2=-2,828$$

-

$$\frac{\sqrt{8-4}}{2,828}$$

$$\frac{\sqrt{4}}{2,828}$$

$$\frac{2}{2,828}$$

$$\frac{500}{707}$$

-