Soluzione - Propriétés des ellipses

$$a$$ symbolizes the lengthier radius of the ellipse, equal to half of the main axis.
This is also known as the semi-major axis.
To figure out the value of $$a$$, use the standard form of the vertical ellipse:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$
$$a^2=64$$
Take the square root on both sides of the equation:
$$a=8$$

Parce que $$a$$ représente une distance, elle n'a qu'une valeur positive.

Dans une ellipse verticale, l'axe majeur est parallèle à l'axe des y et passe par les sommets de l'ellipse. Trouvez les sommets en ajoutant et en soustrayant $$a$$ de l'ordonnée ($$k$$) du centre.

To find vertex_1, add $$a$$ to the y-coordinate ($$k$$) of the center:
Vertex_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(3,-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$a=8$$
Vertex_1: $$\left(3,-1+8\right)$$
Vertex_1: $$\left(3;7\right)$$

To find vertex_2, subtract $$a$$ from the y-coordinate ($$k$$) of the center:
Vertex_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Center: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$a=8$$
Vertex_2: $$\left(3,-1-8\right)$$
Vertex_2: $$\left(3;-9\right)$$

$$b$$ representa el radio más corto de la elipse, que equivale a la mitad del eje menor. Esto se llama el semieje menor.
Para encontrar el valor de $$b$$, use la forma estándar de la elipse vertical:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$
$$b^2=16$$
Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:
$$b=4$$
Dado que b representa una distancia, solo tiene un valor positivo.

En una elipse vertical, el eje menor corre paralelo al eje x y pasa por los co-vértices de la elipse.
Encuentra los co-vértices sumando y restando $$b$$ de la coordenada x ($$h$$) del centro.

Para encontrar el co-vértice_1, suma $$b$$ a la coordenada x ($$h$$) del centro:
Co-vertice_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$b=4$$
Co-vertice_1: $$\left(3+4,-1\right)$$
Co-vertice_1: $$\left(7;-1\right)$$

Para encontrar el co-vértice_2, resta $$b$$ de la coordenada x ($$h$$) del centro:
Co-vertice_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$b=4$$
Co-vertice_2: $$\left(3-4,-1\right)$$
Co-vertice_2: $$\left(-1;-1\right)$$

La longitud focal es la distancia desde el centro de la elipse hasta cada punto focal y normalmente se representa por $$f$$.

Para encontrar $$f$$, use la fórmula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=16$$
Introduce $$a^2$$ y $$b^2$$ en la fórmula y simplifica:

$$f=\sqrt{64-16}$$

$$f=\sqrt{48}$$

$$f=6,928$$

Parce que $$f$$ représente une distance, elle n'a qu'une valeur positive.

En una elipse vertical, el eje mayor corre paralelo al eje y y pasa por los focos.
Encuentra los focos sumando y restando $$f$$ de la coordenada y $$\left(k\right)$$ del centro.

Pour trouver focus_1, ajoutez $$f$$ à la coordonnée y $$\left(k\right)$$ du centre:
Focus_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$f=6,928$$
Focus_1: $$\left(3,-1+6,928\right)$$
Focus_1: $$\left(3;5,928\right)$$

Pour trouver focus_2, soustrayez $$f$$ de la coordonnée y $$\left(k\right)$$ du centre:
Focus_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$f=6,928$$
Focus_2: $$\left(3,-1-6,928\right)$$
Focus_2: $$\left(3;-7,928\right)$$

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$$\pi ·8·4$$

$$\pi ·32$$

La zone est égale à $$32\pi$$

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$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(0+1\right)}^2}{64}=1$$

$$x_1=6,969$$

$$x_2=-0,969$$

-

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$\frac{{\left(0-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$y_1=4,292$$

$$y_2=-6,292$$

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$$\frac{\sqrt{64-16}}{8}$$

$$\frac{\sqrt{48}}{8}$$

$$\frac{6,928}{8}$$

$$0,866$$

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