Soluzione - Propriétés des ellipses

$$a$$ représente le rayon le plus long de l'ellipse, qui est égal à la moitié de l'axe majeur. Cela s'appelle l'axe semi-majeur.
Pour trouver la valeur de $$a$$, utilisez la forme standard de l'ellipse horizontale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$
$$a^2=20$$
Prenez la racine carrée des deux côtés de l'équation:
$$a=4,472$$

Parce que $$a$$ représente une distance, elle n'a qu'une valeur positive.

Dans une ellipse horizontale, l'axe majeur est parallèle à l'axe des x et passe par les sommets de l'ellipse. Trouvez les sommets en ajoutant et en soustrayant $$a$$ de l'abscisse $$\left(h\right)$$ du centre.

Pour trouver vertex_1, ajoutez $$a$$ à la coordonnée x $$\left(h\right)$$ du centre:
Vertex_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(-4,-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$a=4.472$$
Vertex_1: $$\left(-4+4.472,-2\right)$$
Vertex_1: $$\left(0.472;-2\right)$$

Pour trouver vertex_2, soustrayez $$a$$ de la coordonnée x ($$h$$) du centre:
Vertex_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Centre: $$\left(h,k\right)=\left(-4,-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$a=4.472$$
Vertex_2: $$\left(-4-4.472,-2\right)$$
Vertex_2: $$\left(-8.472;-2\right)$$

$$b$$ représente le rayon le plus court de l'ellipse, qui est égal à la moitié de l'axe mineur. C'est ce qu'on appelle l'axe semi-mineur.
Pour trouver la valeur de $$b$$, utilisez la forme standard de l'ellipse horizontale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$
$$b^2=10$$
Prenez la racine carrée des deux côtés de l'équation:
$$b=3,162$$
Comme b représente une distance, il n'a qu'une valeur positive.

En una elipse horizontal, el eje menor corre paralelo al eje y y pasa a través de los co-vértices de la elipse.
Encuentra los co-vértices sumando y restando $$b$$ al valor de la coordenada y $$\left(k\right)$$ del centro.

Para encontrar el co-vértice_1, suma $$b$$ a la coordenada y (k) del centro:
Co-vértice_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(-4;-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$b=3,162$$
Co-vértice_1: $$\left(-4,-2+3,162\right)$$
Co-vértice_1: $$\left(-4;1,162\right)$$

Para encontrar el co-vértice_2, resta $$b$$ a la coordenada y (k) del centro:
Co-vértice_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(-4;-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$b=3,162$$
Co-vértice_2: $$\left(-4,-2-3,162\right)$$
Co-vértice_2: $$\left(-4;-5,162\right)$$

La longitud focal es la distancia desde el centro de la elipse hasta cada punto focal y generalmente se representa por $$f$$.

Para encontrar $$f$$, usa la fórmula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=20$$
$$b^2=10$$
Incluye $$a^2$$ y $$b^2$$ en la fórmula y simplifica:

$$f=\sqrt{20-10}$$

$$f=\sqrt{10}$$

$$f=3,162$$

Parce que $$f$$ représente une distance, elle n'a qu'une valeur positive.

En una elipse horizontal, el eje mayor corre paralelo al eje x y pasa a través de los focos.
Encuentra los focos sumando y restando $$f$$ al valor de la coordenada x $$\left(h\right)$$ del centro.

Para encontrar el foco_1, suma $$f$$ a la coordenada x (h) del centro:
Foco_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(-4;-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$f=3,162$$
Foco_1: $$\left(-4+3,162,-2\right)$$
Foco_1: $$\left(-0,838;-2\right)$$

Para encontrar el foco_2, resta $$f$$ a la coordenada x (h) del centro:
Foco_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(-4;-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$f=3,162$$
Foco_2: $$\left(-4-3,162,-2\right)$$
Foco_2: $$\left(-7,162;-2\right)$$

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$$\pi ·4,472·3,162$$

$$\pi ·14,14$$

La zone est égale à $$14,14\pi$$

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$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(0+2\right)}^2}{10}=1$$

$$x_1=-0,536$$

$$x_2=-7,464$$

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$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$

$$\frac{{\left(0+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$

$$y_1=-0,586$$

$$y_2=-3,414$$

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$$\frac{\sqrt{20-10}}{4,472}$$

$$\frac{\sqrt{10}}{4,472}$$

$$\frac{3,162}{4,472}$$

$$0,707$$

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