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Soluzione - Risolvere equazioni quadratiche completando il quadrato

Risultato finale Passaggi Termini e argomenti

Forma esatta:

x_{1} = 4 + \sqrt{23}

x_1=4+\sqrt{23}

x_{2} = 4 - \sqrt{23}

x_2=4-\sqrt{23}

Forma decimale:

x_{1} = 8, 796

x_1=8,796

x_{2} = - 0, 796

x_2=-0,796

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Spiegazione passo passo

1. Identifica los coeficientes

Utiliza la forma estándar de una ecuación cuadrática, $a x^{2} + b x + c = 0$ , para encontrar los coeficientes de la ecuación:

$x^{2} - 8 x - 7 = 0$

$a = 1$
$b = - 8$
$c = - 7$

2. Mueve la constante al lado derecho de la ecuación y combina

Agrega $7$ a ambos lados de la ecuación:

$x^{2} - 8 x - 7 = 0$

$x^{2} - 8 x - 7 + 7 = 0 + 7$

$x^{2} - 8 x = 7$

3. Completa el cuadrado

Para convertir el lado izquierdo de la ecuación en un trinomio cuadrado perfecto, añade una nueva constante igual a ${(\frac{b}{2})}^{2}$ a la ecuación:

$b = - 8$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- 8}{2})}^{2}$

Use the exponents fraction rule ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- 8}{2})}^{2} = \frac{- 8^{2}}{2^{2}}$

$\frac{- 8^{2}}{2^{2}} = \frac{64}{4}$

$\frac{64}{4} = \frac{16}{1}$

Agrega $16$ a ambos lados de la ecuación:

2 passaggi aggiuntivi

$x^{2} - 8 x = 7$

$x^{2} - 8 x + \frac{16}{1} = 7 + \frac{16}{1}$

Divisione per uno:

$x^{2} - 8 x + \frac{16}{1} = 7 + 16$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$x^{2} - 8 x + \frac{16}{1} = 23$

Ahora que tenemos un trinomio cuadrado perfecto, podemos escribirlo en forma de cuadrado perfecto al añadir la mitad del coeficiente $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - 8$

2 passaggi aggiuntivi

$\frac{b}{2} = \frac{- 8}{2}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$\frac{b}{2} = \frac{(- 4 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$\frac{b}{2} = - 4$

$x^{2} - 8 x + \frac{16}{1} = 23$

${(x - 4)}^{2} = 23$

4. Resuelve para $x$

Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación: IMPORTANTE: Al hallar la raíz cuadrada de una constante, obtenemos dos soluciones: positiva y negativa

${(x - 4)}^{2} = 23$

$\sqrt{{(x - 4)}^{2}} = \sqrt{23}$

Cancel out the square and square root on the left side of the equation:

$x - 4 = \pm \sqrt{23}$

Aggiungi $4$ a entrambi i lati

$x - 4 + 4 = 4 \pm \sqrt{23}$

Semplifica il lato sinistro

$x = 4 \pm \sqrt{23}$

$x_{1} = 4 + \sqrt{23}$
$x_{2} = 4 - \sqrt{23}$

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Perché imparare questo

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Le equazioni quadratiche descrivono curve come circonferenze, ellissi e parabole. Queste forme possono essere usate per studiare traiettorie, progettare oggetti in movimento e modellare fenomeni reali.
Capire come risolverle aiuta a collegare l'algebra alla fisica, all'ingegneria e a molte applicazioni pratiche.

Termini e argomenti

Risoluzione di equazioni di secondo grado completando il quadrato