Soluzione - Risolvere equazioni quadratiche completando il quadrato

Agrega $$1$$ a ambos lados de la ecuación:

$$x^2+5x+1=0$$

$$x^2+5x+1-1=0-1$$

$$x^2+5x=-1$$

Para convertir el lado izquierdo de la ecuación en un trinomio cuadrado perfecto, añade una nueva constante igual a $${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$ a la ecuación:

$$b=5$$

Agrega $$\frac{25}{4}$$ a ambos lados de la ecuación:

Ahora que tenemos un trinomio cuadrado perfecto, podemos escribirlo en forma de cuadrado perfecto al añadir la mitad del coeficiente $$b$$, $$\frac{b}{2}$$ :
$$b=5$$

$$x^2+5x+\frac{25}{4}=\frac{21}{4}$$

$${\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{21}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación: IMPORTANTE: Al hallar la raíz cuadrada de una constante, obtenemos dos soluciones: positiva y negativa

$${\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{21}{4}$$

$$\sqrt{{\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

$$x+\frac{5}{2}=\pm \sqrt{\frac{21}{4}}$$

$$x+\frac{5}{2}-\frac{5}{2}=-\frac{5}{2}\pm \sqrt{\frac{21}{4}}$$

$$x=-\frac{5}{2}\pm \sqrt{\frac{21}{4}}$$

$$x=-\frac{5}{2}\pm \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{4}}$$

$$x=-\frac{5}{2}\pm \frac{\sqrt{21}}{2}$$

$$x_1=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_2=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{21}}{2}$$