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Soluzione - Risolvere equazioni quadratiche completando il quadrato

Risultato finale Passaggi Termini e argomenti

Forma esatta:

x_{1} = - 5 + \sqrt{11}

x_1=-5+\sqrt{11}

x_{2} = - 5 - \sqrt{11}

x_2=-5-\sqrt{11}

Forma decimale:

x_{1} = - 1, 683

x_1=-1,683

x_{2} = - 8, 317

x_2=-8,317

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Spiegazione passo passo

1. Identifica los coeficientes

Utiliza la forma estándar de una ecuación cuadrática, $a x^{2} + b x + c = 0$ , para encontrar los coeficientes de la ecuación:

$x^{2} + 10 x + 14 = 0$

$a = 1$
$b = 10$
$c = 14$

2. Mueve la constante al lado derecho de la ecuación y combina

Agrega $14$ a ambos lados de la ecuación:

$x^{2} + 10 x + 14 = 0$

$x^{2} + 10 x + 14 - 14 = 0 - 14$

$x^{2} + 10 x = - 14$

3. Completa el cuadrado

Para convertir el lado izquierdo de la ecuación en un trinomio cuadrado perfecto, añade una nueva constante igual a ${(\frac{b}{2})}^{2}$ a la ecuación:

$b = 10$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{10}{2})}^{2}$

Use the exponents fraction rule ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{10}{2})}^{2} = \frac{10^{2}}{2^{2}}$

$\frac{10^{2}}{2^{2}} = \frac{100}{4}$

$\frac{100}{4} = \frac{25}{1}$

Agrega $25$ a ambos lados de la ecuación:

2 passaggi aggiuntivi

$x^{2} + 10 x = - 14$

$x^{2} + 10 x + \frac{25}{1} = - 14 + \frac{25}{1}$

Divisione per uno:

$x^{2} + 10 x + \frac{25}{1} = - 14 + 25$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$x^{2} + 10 x + \frac{25}{1} = 11$

Ahora que tenemos un trinomio cuadrado perfecto, podemos escribirlo en forma de cuadrado perfecto al añadir la mitad del coeficiente $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = 10$

2 passaggi aggiuntivi

$\frac{b}{2} = \frac{10}{2}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$\frac{b}{2} = \frac{(5 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$\frac{b}{2} = 5$

$x^{2} + 10 x + \frac{25}{1} = 11$

${(x + 5)}^{2} = 11$

4. Resuelve para $x$

Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación: IMPORTANTE: Al hallar la raíz cuadrada de una constante, obtenemos dos soluciones: positiva y negativa

${(x + 5)}^{2} = 11$

$\sqrt{{(x + 5)}^{2}} = \sqrt{11}$

Cancel out the square and square root on the left side of the equation:

$x + 5 = \pm \sqrt{11}$

Sottrai 5 da entrambi i lati

$x + 5 - 5 = - 5 \pm \sqrt{11}$

Semplifica il lato sinistro

$x = - 5 \pm \sqrt{11}$

$x_{1} = - 5 + \sqrt{11}$
$x_{2} = - 5 - \sqrt{11}$

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Perché imparare questo

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Le equazioni quadratiche descrivono curve come circonferenze, ellissi e parabole. Queste forme possono essere usate per studiare traiettorie, progettare oggetti in movimento e modellare fenomeni reali.
Capire come risolverle aiuta a collegare l'algebra alla fisica, all'ingegneria e a molte applicazioni pratiche.

Termini e argomenti

Risoluzione di equazioni di secondo grado completando il quadrato