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Soluzione - Risolvere equazioni quadratiche completando il quadrato

Risultato finale Passaggi Termini e argomenti

x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot i

x_1=-\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3}\cdoti

x_{2} = - \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot i

x_2=-\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{2}}{3}\cdoti

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Spiegazione passo passo

1. Identifica los coeficientes

Utiliza la forma estándar de una ecuación cuadrática, $a x^{2} + b x + c = 0$ , para encontrar los coeficientes:

$9 x^{2} + 12 x + 6 = 0$

$a = 9$
$b = 12$
$c = 6$

2. Haz que el coeficiente a sea igual a 1

Porque $a = 9$ , divide todos los coeficientes y constantes en ambos lados de la ecuación por $9$ :

$9 x^{2} + 12 x + 6 = 0$

$\frac{9}{9} x^{2} + 12 \frac{x}{9} + \frac{6}{9} = \frac{0}{9}$

Semplifica l'espressione

$x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{2}{3} = 0$

I coefficienti sono:
$a = 1$
$b = \frac{4}{3}$
$c = \frac{2}{3}$

3. Mueve la constante al lado derecho de la ecuación y combina

Agrega $\frac{2}{3}$ a ambos lados de la ecuación:

$x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{2}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0 - \frac{2}{3}$

$x^{2} + \frac{4}{3} x = - \frac{2}{3}$

4. Completa el cuadrado

Para convertir el lado izquierdo de la ecuación en un trinomio cuadrado perfecto, añade una nueva constante igual a ${(\frac{b}{2})}^{2}$ a la ecuación:

$b = \frac{4}{3}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{\frac{4}{3}}{2})}^{2}$

Use the exponents fraction rule ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{\frac{4}{3}}{2})}^{2} = \frac{{(\frac{4}{3})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(\frac{4}{3})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{16}{9}}{4}$

$\frac{\frac{16}{9}}{4} = \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{9}$

Agrega $\frac{4}{9}$ a ambos lados de la ecuación:

5 passaggi aggiuntivi

$x^{2} + \frac{4}{3} x = - \frac{2}{3}$

$x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = - \frac{2}{3} + \frac{4}{9}$

Calcola il minimo comune denominatore:

$x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = \frac{(- 2 \cdot 3)}{(3 \cdot 3)} + \frac{4}{9}$

Moltiplica i denominatori:

$x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = \frac{(- 2 \cdot 3)}{9} + \frac{4}{9}$

Moltiplica i numeratori:

$x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = \frac{- 6}{9} + \frac{4}{9}$

Combina le frazioni:

$x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = \frac{(- 6 + 4)}{9}$

Combina i numeratori:

$x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = \frac{- 2}{9}$

Ahora que tenemos un trinomio cuadrado perfecto, podemos escribirlo en forma de cuadrado perfecto al añadir la mitad del coeficiente $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = \frac{4}{3}$

2 passaggi aggiuntivi

$\frac{b}{2} = \frac{\frac{4}{3}}{2}$

Semplifica la divisione:

$\frac{b}{2} = \frac{4}{(3 \cdot 2)}$

Cancella i termini:

$\frac{b}{2} = \frac{2}{3}$

$x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{9} = \frac{- 2}{9}$

${(x + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{2}{9}$

5. Resuelve para $x$

Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación: IMPORTANTE: Al hallar la raíz cuadrada de una constante, obtenemos dos soluciones: positiva y negativa

${(x + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{2}{9}$

$\sqrt{{(x + \frac{2}{3})}^{2}} = \sqrt{- \frac{2}{9}}$

Cancel out the square and square root on the left side of the equation:

$x + \frac{2}{3} = \pm \sqrt{- \frac{2}{9}}$

Sottrai \frac{2}{3} da entrambi i lati

$x + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{2}{3} \pm \sqrt{- \frac{2}{9}}$

Semplifica il lato sinistro

$x = - \frac{2}{3} \pm \sqrt{- \frac{2}{9}}$

La radice quadrata di un numero negativo non esiste nell'insieme dei numeri reali. Introduciamo il numero immaginario "i", che è la radice quadrata di uno negativo. $\sqrt{(- 1)} = i$

$x = - \frac{2}{3} \pm \sqrt{\frac{2}{9}} \cdot \sqrt{- 1}$

$x = - \frac{2}{3} \pm \sqrt{\frac{2}{9}} \cdot i$

$x = - \frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} \cdot i$

$x = - \frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot i$

$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot i$
$x_{2} = - \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot i$

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Perché imparare questo

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Le equazioni quadratiche descrivono curve come circonferenze, ellissi e parabole. Queste forme possono essere usate per studiare traiettorie, progettare oggetti in movimento e modellare fenomeni reali.
Capire come risolverle aiuta a collegare l'algebra alla fisica, all'ingegneria e a molte applicazioni pratiche.

Termini e argomenti

Risoluzione di equazioni di secondo grado completando il quadrato