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Soluzione - Risolvere equazioni quadratiche completando il quadrato

Risultato finale Passaggi Termini e argomenti

Forma esatta:

x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{21}}{3}

x_1=1+\frac{\sqrt{21}}{3}

x_{2} = 1 - \frac{\sqrt{21}}{3}

x_2=1-\frac{\sqrt{21}}{3}

Forma decimale:

x_{1} = 2, 528

x_1=2,528

x_{2} = - 0, 528

x_2=-0,528

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Spiegazione passo passo

1. Identifica los coeficientes

Utiliza la forma estándar de una ecuación cuadrática, $a x^{2} + b x + c = 0$ , para encontrar los coeficientes:

$3 x^{2} - 6 x - 4 = 0$

$a = 3$
$b = - 6$
$c = - 4$

2. Haz que el coeficiente a sea igual a 1

Porque $a = 3$ , divide todos los coeficientes y constantes en ambos lados de la ecuación por $3$ :

$3 x^{2} - 6 x - 4 = 0$

$\frac{3}{3} x^{2} - 6 \frac{x}{3} - \frac{4}{3} = \frac{0}{3}$

Semplifica l'espressione

$x^{2} - 2 x - \frac{4}{3} = 0$

I coefficienti sono:
$a = 1$
$b = - 2$
$c = - \frac{4}{3}$

3. Mueve la constante al lado derecho de la ecuación y combina

Agrega $\frac{4}{3}$ a ambos lados de la ecuación:

$x^{2} - 2 x - \frac{4}{3} = 0$

$x^{2} - 2 x - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0 + \frac{4}{3}$

$x^{2} - 2 x = \frac{4}{3}$

4. Completa el cuadrado

Para convertir el lado izquierdo de la ecuación en un trinomio cuadrado perfecto, añade una nueva constante igual a ${(\frac{b}{2})}^{2}$ a la ecuación:

$b = - 2$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- 2}{2})}^{2}$

Use the exponents fraction rule ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- 2}{2})}^{2} = \frac{- 2^{2}}{2^{2}}$

$\frac{- 2^{2}}{2^{2}} = \frac{4}{4}$

$\frac{4}{4} = 1$

Agrega $1$ a ambos lados de la ecuación:

3 passaggi aggiuntivi

$x^{2} - 2 x = \frac{4}{3}$

$x^{2} - 2 x + 1 = \frac{4}{3} + 1$

Converti il numero intero in una frazione:

$x^{2} - 2 x + 1 = \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Combina le frazioni:

$x^{2} - 2 x + 1 = \frac{(4 + 3)}{3}$

Combina i numeratori:

$x^{2} - 2 x + 1 = \frac{7}{3}$

Ahora que tenemos un trinomio cuadrado perfecto, podemos escribirlo en forma de cuadrado perfecto al añadir la mitad del coeficiente $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - 2$

2 passaggi aggiuntivi

$\frac{b}{2} = \frac{- 2}{2}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$\frac{b}{2} = \frac{(- 1 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$\frac{b}{2} = - 1$

$x^{2} - 2 x + 1 = \frac{7}{3}$

${(x - 1)}^{2} = \frac{7}{3}$

5. Resuelve para $x$

Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación: IMPORTANTE: Al hallar la raíz cuadrada de una constante, obtenemos dos soluciones: positiva y negativa

${(x - 1)}^{2} = \frac{7}{3}$

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = \sqrt{\frac{7}{3}}$

Cancel out the square and square root on the left side of the equation:

$x - 1 = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

Aggiungi $1$ a entrambi i lati

$x - 1 + 1 = 1 \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

Semplifica il lato sinistro

$x = 1 \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

$x = 1 \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

$x = 1 \pm \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$

$x = 1 \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

$x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{21}}{3}$
$x_{2} = 1 - \frac{\sqrt{21}}{3}$

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Perché imparare questo

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Le equazioni quadratiche descrivono curve come circonferenze, ellissi e parabole. Queste forme possono essere usate per studiare traiettorie, progettare oggetti in movimento e modellare fenomeni reali.
Capire come risolverle aiuta a collegare l'algebra alla fisica, all'ingegneria e a molte applicazioni pratiche.

Termini e argomenti

Risoluzione di equazioni di secondo grado completando il quadrato