Soluzione - Risolvere equazioni quadratiche completando il quadrato

Porque $$a=3$$, divide todos los coeficientes y constantes en ambos lados de la ecuación por $$3$$:

$$3x^2-5x-7=0$$

$$\frac{3}{3}{x}^2-5\frac{x}{3}-\frac{7}{3}=\frac{0}{3}$$

$$x^2-\frac{5}{3}x-\frac{7}{3}=0$$

I coefficienti sono:
$$a=1$$
$$b=-\frac{5}{3}$$
$$c=-\frac{7}{3}$$

Agrega $$\frac{7}{3}$$ a ambos lados de la ecuación:

$$x^2-\frac{5}{3}x-\frac{7}{3}=0$$

$$x^2-\frac{5}{3}x-\frac{7}{3}+\frac{7}{3}=0+\frac{7}{3}$$

$$x^2-\frac{5}{3}x=\frac{7}{3}$$

Para convertir el lado izquierdo de la ecuación en un trinomio cuadrado perfecto, añade una nueva constante igual a $${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$$ a la ecuación:

$$b=-\frac{5}{3}$$

Agrega $$\frac{25}{36}$$ a ambos lados de la ecuación:

Ahora que tenemos un trinomio cuadrado perfecto, podemos escribirlo en forma de cuadrado perfecto al añadir la mitad del coeficiente $$b$$, $$\frac{b}{2}$$ :
$$b=-\frac{5}{3}$$

$$x^2-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{109}{36}$$

$${\left(x-\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{109}{36}$$

Toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación: IMPORTANTE: Al hallar la raíz cuadrada de una constante, obtenemos dos soluciones: positiva y negativa

$${\left(x-\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{109}{36}$$

$$\sqrt{{\left(x-\frac{5}{6}\right)}^2}=\sqrt{\frac{109}{36}}$$

$$x-\frac{5}{6}=\pm \sqrt{\frac{109}{36}}$$

$$x-\frac{5}{6}+\frac{5}{6}=\frac{5}{6}\pm \sqrt{\frac{109}{36}}$$

$$x=\frac{5}{6}\pm \sqrt{\frac{109}{36}}$$

$$x=\frac{5}{6}\pm \frac{\sqrt{109}}{\sqrt{36}}$$

$$x=\frac{5}{6}\pm \frac{\sqrt{109}}{6}$$

$$x_1=\frac{5}{6}+\frac{\sqrt{109}}{6}$$
$$x_2=\frac{5}{6}-\frac{\sqrt{109}}{6}$$