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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Notazione di intervallo - Nessuna vera radice:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Soluzione:

x_{1} = - 1 + \frac{1}{3} i \cdot \sqrt{6}, x_{2} = - 1 + \frac{- 1}{3} i \cdot \sqrt{6}

x_{1}=-1+\frac{1}{3}i\cdot\sqrt{6} , x_{2}=-1+\frac{-1}{3}i\cdot\sqrt{6}

Guarda i passaggi

Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

15 passaggi aggiuntivi

$x^{2} + (x + 1) \cdot (x + 1) + {(x + 2)}^{2} < 0$

Espandi le parentesi:

$x^{2} + x \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1) + {(x + 2)}^{2} < 0$

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 + 1 \cdot (x + 1) + {(x + 2)}^{2} < 0$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$x^{2} + x^{2} + x \cdot 1 + 1 \cdot (x + 1) + {(x + 2)}^{2} < 0$

Espandi le parentesi:

$x^{2} + x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x + 2)}^{2} < 0$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$x^{2} + x^{2} + x + 1 x + 1 + {(x + 2)}^{2} < 0$

Raggruppa termini simili:

$(x^{2} + x^{2}) + (x + x) + 1 + {(x + 2)}^{2} < 0$

Espandi le parentesi:

$2 x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot (x + 2) + 2 \cdot (x + 2) < 0$

$2 x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 \cdot (x + 2) < 0$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$2 x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + x \cdot 2 + 2 \cdot (x + 2) < 0$

Espandi le parentesi:

$2 x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 2 < 0$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$2 x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + 2 x + 2 x + 4 < 0$

Raggruppa termini simili:

$(2 x^{2} + x^{2}) + (2 x + 2 x + 2 x) + (1 + 4) < 0$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$3 x^{2} + 6 x + 5 < 0$

Sottrai 5 da entrambi i lati:

$(3 x^{2} + 6 x + 5) - 5 < 0 - 5$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$3 x^{2} + 6 x < 0 - 5$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$3 x^{2} + 6 x < - 5$

Semplifica la disequazione di secondo grado nella sua forma standard

$a x^{2} + b x + c < 0$

Aggiungi $- 5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 6 x < - 5$

Aggiungi $- 5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 6 x + 5 < - 5 + 5$

Semplifica l'espressione

$3 x^{2} + 6 x + 5 < 0$

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

I coefficienti della nostra disequazione, $3 x^{2} + 6 x + 5 < 0$ , sono:

$a$ = 3

$b$ = 6

$c$ = 5

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

La formula di secondo grado calcola le radici per $a x^{2} + b x + c < 0$ , in cui $a$ , $b$ e $c$ sono numeri (o coefficienti), come indicato di seguito:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 3$
$b = 6$
$c = 5$

$x = (- 6 \pm s q r t (6^{2} - 4 * 3 * 5)) / (2 * 3)$

Semplifica esponenti e radici quadrate

$x = (- 6 \pm s q r t (36 - 4 * 3 * 5)) / (2 * 3)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 6 \pm s q r t (36 - 12 * 5)) / (2 * 3)$

$x = (- 6 \pm s q r t (36 - 60)) / (2 * 3)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$x = (- 6 \pm s q r t (- 24)) / (2 * 3)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$x = (- 6 \pm s q r t (- 24)) / (6)$

per ottenere il risultato:

$x = (- 6 \pm s q r t (- 24)) / 6$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(- 24)}$

Semplifica $- 24$ trovando i suoi fattori primi:

La scomposizione in fattori primi di $- 24$ è $2 i \cdot \sqrt{6}$

La radice quadrata di un numero negativo non esiste nell'insieme dei numeri reali. Introduciamo il numero immaginario "i", che è la radice quadrata di uno negativo. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 24} = \sqrt{(- 1) \cdot 24}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 24} = i \sqrt{24}$

Scrivi i fattori primi:

$i \sqrt{24} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$

Raggruppa i fattori primi in coppie e riscrivili in forma esponenziale:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cdot 3}$

Usa la regola $\sqrt{(x^{2})} = x$ per semplificare ulteriormente:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cdot 3} = 2 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3}$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$2 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3} = 2 i \cdot \sqrt{6}$

5. Risolvi l'equazione per x

$x = (- 6 \pm 2 i * s q r t (6)) / 6$

Il segno ± significa che sono possibili due radici.

Separa le equazioni: $x_{1} = (- 6 + 2 i * s q r t (6)) / 6$ e $x_{2} = (- 6 - 2 i * s q r t (6)) / 6$

3 passaggi aggiuntivi

$x_{1} = \frac{(- 6 + 2 i \cdot \sqrt{6})}{6}$

Scomponi la frazione:

$x_{1} = \frac{- 6}{6} + \frac{2 i \cdot \sqrt{6}}{6}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$x_{1} = \frac{(- 1 \cdot 6)}{(1 \cdot 6)} + \frac{2 i \cdot \sqrt{6}}{6}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$x_{1} = - 1 + \frac{2 i \cdot \sqrt{6}}{6}$

Semplifica la frazione:

$x_{1} = - 1 + \frac{1}{3} i \cdot \sqrt{6}$

3 passaggi aggiuntivi

$x_{2} = \frac{(- 6 - 2 i \cdot \sqrt{6})}{6}$

Scomponi la frazione:

$x_{2} = \frac{- 6}{6} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{6}}{6}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$x_{2} = \frac{(- 1 \cdot 6)}{(1 \cdot 6)} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{6}}{6}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$x_{2} = - 1 + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{6}}{6}$

Semplifica la frazione:

$x_{2} = - 1 + \frac{- 1}{3} i \cdot \sqrt{6}$

6. Calcola gli intervalli

Parte discriminante della formula quadratica:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Non ci sono vere radici.
$b^{2} - 4 a c = 0$ C'è una vera radice.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Ci sono due vere radici.

La funzione di disuguaglianza non ha radici reali, la parabola non si interseca con l'asse x. La formula quadratica richiede di prendere la radice quadrata e la radice quadrata di un numero negativo non è definita sulla retta reale.

L'intervallo è $(- \infty, \infty)$

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Perché imparare questo

Mentre le equazioni di secondo grado esprimono i percorsi degli archi e i punti lungo di essi, le disequazioni di secondo grado esprimono le aree all'interno e all'esterno di questi archi e gli intervalli che includono. In altre parole, se le equazioni di secondo grado ci dicono dov'è il confine, le disequazioni di secondo grado ci aiutano a capire su quali aspetti di quel confine dovremmo concentrarci. Più praticamente, le disequazioni di secondo grado sono usate per creare algoritmi complessi che alimentano software potenti e per tracciare l'andamento nel tempo dei cambiamenti, come i prezzi al negozio di alimentari.

Termini e argomenti

Disequazioni di secondo grado

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado a, b e c

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

4. Semplifica la radice quadrata (−24)

5. Risolvi l'equazione per x

6. Calcola gli intervalli

Perché imparare questo

Termini e argomenti

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2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

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