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Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Notazione di intervallo - Nessuna vera radice:

k \in (- \infty, \infty)

k∈(-∞,∞)

Soluzione:

k_{1} = - 1 + i \cdot \sqrt{7}, k_{2} = - 1 - i \cdot \sqrt{7}

k_{1}=-1+i\cdot\sqrt{7} , k_{2}=-1-i\cdot\sqrt{7}

Guarda i passaggi

Spiegazione passo passo

1. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

I coefficienti della nostra disequazione, $k^{2} + 2 k + 8 < 0$ , sono:

$a$ = 1

$b$ = 2

$c$ = 8

2. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

La formula di secondo grado calcola le radici per $a k^{2} + b k + c < 0$ , in cui $a$ , $b$ e $c$ sono numeri (o coefficienti), come indicato di seguito:

$k = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 1$
$b = 2$
$c = 8$

$k = (- 2 \pm s q r t (2^{2} - 4 * 1 * 8)) / (2 * 1)$

Semplifica esponenti e radici quadrate

$k = (- 2 \pm s q r t (4 - 4 * 1 * 8)) / (2 * 1)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$k = (- 2 \pm s q r t (4 - 4 * 8)) / (2 * 1)$

$k = (- 2 \pm s q r t (4 - 32)) / (2 * 1)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$k = (- 2 \pm s q r t (- 28)) / (2 * 1)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$k = (- 2 \pm s q r t (- 28)) / (2)$

per ottenere il risultato:

$k = (- 2 \pm s q r t (- 28)) / 2$

3. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(- 28)}$

Semplifica $- 28$ trovando i suoi fattori primi:

La scomposizione in fattori primi di $- 28$ è $2 i \cdot \sqrt{7}$

La radice quadrata di un numero negativo non esiste nell'insieme dei numeri reali. Introduciamo il numero immaginario "i", che è la radice quadrata di uno negativo. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 28} = \sqrt{(- 1) \cdot 28}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 28} = i \sqrt{28}$

Scrivi i fattori primi:

$i \sqrt{28} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 7}$

Raggruppa i fattori primi in coppie e riscrivili in forma esponenziale:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 7} = i \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Usa la regola $\sqrt{(x^{2})} = x$ per semplificare ulteriormente:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 7} = 2 i \cdot \sqrt{7}$

4. Risolvi l'equazione per k

$k = (- 2 \pm 2 i * s q r t (7)) / 2$

Il segno ± significa che sono possibili due radici.

Separa le equazioni: $k_{1} = (- 2 + 2 i * s q r t (7)) / 2$ e $k_{2} = (- 2 - 2 i * s q r t (7)) / 2$

3 passaggi aggiuntivi

$k_{1} = \frac{(- 2 + 2 i \cdot \sqrt{7})}{2}$

Scomponi la frazione:

$k_{1} = \frac{- 2}{2} + \frac{2 i \cdot \sqrt{7}}{2}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$k_{1} = \frac{(- 1 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)} + \frac{2 i \cdot \sqrt{7}}{2}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$k_{1} = - 1 + \frac{2 i \cdot \sqrt{7}}{2}$

Semplifica la frazione:

$k_{1} = - 1 + i \cdot \sqrt{7}$

3 passaggi aggiuntivi

$k_{2} = \frac{(- 2 - 2 i \cdot \sqrt{7})}{2}$

Scomponi la frazione:

$k_{2} = \frac{- 2}{2} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{7}}{2}$

Calcola il massimo comune divisore del numeratore e del denominatore:

$k_{2} = \frac{(- 1 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{7}}{2}$

Scomponi e cancella il massimo comune divisore:

$k_{2} = - 1 + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{7}}{2}$

Semplifica la frazione:

$k_{2} = - 1 - i \cdot \sqrt{7}$

5. Calcola gli intervalli

Parte discriminante della formula quadratica:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Non ci sono vere radici.
$b^{2} - 4 a c = 0$ C'è una vera radice.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Ci sono due vere radici.

La funzione di disuguaglianza non ha radici reali, la parabola non si interseca con l'asse x. La formula quadratica richiede di prendere la radice quadrata e la radice quadrata di un numero negativo non è definita sulla retta reale.

L'intervallo è $(- \infty, \infty)$

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Perché imparare questo

Mentre le equazioni di secondo grado esprimono i percorsi degli archi e i punti lungo di essi, le disequazioni di secondo grado esprimono le aree all'interno e all'esterno di questi archi e gli intervalli che includono. In altre parole, se le equazioni di secondo grado ci dicono dov'è il confine, le disequazioni di secondo grado ci aiutano a capire su quali aspetti di quel confine dovremmo concentrarci. Più praticamente, le disequazioni di secondo grado sono usate per creare algoritmi complessi che alimentano software potenti e per tracciare l'andamento nel tempo dei cambiamenti, come i prezzi al negozio di alimentari.

Termini e argomenti

Disequazioni di secondo grado

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Spiegazione passo passo

1. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado a, b e c