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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Soluzione:

k < - 0, 414 or k > 2, 414

k<-0,414 or k>2,414

Notazione di intervallo:

k \in (- \infty, - 0, 414) ⋃ (2, 414, \infty)

k∈(-∞,-0,414)⋃(2,414,∞)

Guarda i passaggi

Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

6 passaggi aggiuntivi

$k^{2} + 2 k + 1 < 2 k^{2}$

Sottrai 1 da entrambi i lati:

$(k^{2} + 2 k + 1) - 2 k^{2} < (2 k^{2}) - 2 k^{2}$

Raggruppa termini simili:

$(k^{2} - 2 k^{2}) + 2 k + 1 < (2 k^{2}) - 2 k^{2}$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$- k^{2} + 2 k + 1 < (2 k^{2}) - 2 k^{2}$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$- k^{2} + 2 k + 1 < 0$

Sottrai 1 da entrambi i lati:

$(- k^{2} + 2 k + 1) - 1 < 0 - 1$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$- k^{2} + 2 k < 0 - 1$

Semplifica il calcolo aritmetico:

$- k^{2} + 2 k < - 1$

Semplifica la disequazione di secondo grado nella sua forma standard

$a k^{2} + b k + c < 0$

Aggiungi $- 1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 1 k^{2} + 2 k < - 1$

Aggiungi $- 1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 1 k^{2} + 2 k + 1 < - 1 + 1$

Semplifica l'espressione

$- 1 k^{2} + 2 k + 1 < 0$

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

I coefficienti della nostra disequazione, $- 1 k^{2} + 2 k + 1 < 0$ , sono:

$a$ = -1

$b$ = 2

$c$ = 1

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

La formula di secondo grado calcola le radici per $a k^{2} + b k + c < 0$ , in cui $a$ , $b$ e $c$ sono numeri (o coefficienti), come indicato di seguito:

$k = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 1$
$b = 2$
$c = 1$

$k = (- 2 \pm s q r t (2^{2} - 4 * - 1 * 1)) / (2 * - 1)$

Semplifica esponenti e radici quadrate

$k = (- 2 \pm s q r t (4 - 4 * - 1 * 1)) / (2 * - 1)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$k = (- 2 \pm s q r t (4 - - 4 * 1)) / (2 * - 1)$

$k = (- 2 \pm s q r t (4 - - 4)) / (2 * - 1)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$k = (- 2 \pm s q r t (4 + 4)) / (2 * - 1)$

$k = (- 2 \pm s q r t (8)) / (2 * - 1)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$k = (- 2 \pm s q r t (8)) / (- 2)$

per ottenere il risultato:

$k = (- 2 \pm s q r t (8)) / (- 2)$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(8)}$

Semplifica $8$ trovando i suoi fattori primi:

Vista ad albero dei fattori primi di <math>8</math>:

La scomposizione in fattori primi di $8$ è $2^{3}$

Scrivi i fattori primi:

$\sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}$

Raggruppa i fattori primi in coppie e riscrivili in forma esponenziale:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Usa la regola $\sqrt{(x^{2})} = x$ per semplificare ulteriormente:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} = 2 \cdot \sqrt{2}$

5. Risolvi l'equazione per k

$k = (- 2 \pm 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

Il segno ± significa che sono possibili due radici.

Separa le equazioni: $k_{1} = (- 2 + 2 * s q r t (2)) / (- 2)$ e $k_{2} = (- 2 - 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

$k_{1} = (- 2 + 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

Rimuovi le parentesi

$k_{1} = (- 2 + 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

$k_{1} = (- 2 + 2 * 1, 414) / (- 2)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$k_{1} = (- 2 + 2 * 1, 414) / (- 2)$

$k_{1} = (- 2 + 2, 828) / (- 2)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$k_{1} = (- 2 + 2, 828) / (- 2)$

$k_{1} = (0, 828) / (- 2)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$k_{1} = 0, \frac{828}{-} 2$

$k_{1} = - 0, 414$

$k_{2} = (- 2 - 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

$k_{2} = (- 2 - 2 * 1, 414) / (- 2)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$k_{2} = (- 2 - 2 * 1, 414) / (- 2)$

$k_{2} = (- 2 - 2, 828) / (- 2)$

Esegui qualsiasi addizione o sottrazione, da sinistra a destra.

$k_{2} = (- 2 - 2, 828) / (- 2)$

$k_{2} = (- 4, 828) / (- 2)$

Esegui qualsiasi moltiplicazione o divisione, da sinistra a destra:

$k_{2} = - 4, \frac{828}{-} 2$

$k_{2} = 2, 414$

6. Calcola gli intervalli

Per calcolare gli intervalli di una disequazione di secondo grado, iniziamo trovando la sua parabola.

Le radici della parabola (intersezioni con l'asse x) sono: -0,414, 2,414.

Poiché il coefficiente di $a$ è negativo ( $a$ =-1), questa è una disequazione "negativa" di secondo grado e la parabola punta verso il basso, come una faccia triste!

Se il segno della disequazione è ≤ o ≥, gli intervalli includono le radici e si usa una linea continua. Se il segno della disequazione è < o >, gli intervalli non includono le radici e si usa una linea tratteggiata.

7. Scegli l'intervallo corretto (soluzione)

Poiché $- 1 k^{2} + 2 k + 1 < 0$ ha un segno di disequazione $<$ , cerchiamo gli intervalli della parabola situati sotto l'asse delle x.

Soluzione:

Notazione di intervallo:

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Perché imparare questo

Mentre le equazioni di secondo grado esprimono i percorsi degli archi e i punti lungo di essi, le disequazioni di secondo grado esprimono le aree all'interno e all'esterno di questi archi e gli intervalli che includono. In altre parole, se le equazioni di secondo grado ci dicono dov'è il confine, le disequazioni di secondo grado ci aiutano a capire su quali aspetti di quel confine dovremmo concentrarci. Più praticamente, le disequazioni di secondo grado sono usate per creare algoritmi complessi che alimentano software potenti e per tracciare l'andamento nel tempo dei cambiamenti, come i prezzi al negozio di alimentari.

Termini e argomenti

Disequazioni di secondo grado

Soluzione - Risoluzione di disequazioni di secondo grado usando la formula di secondo grado

Spiegazione passo passo

1. Semplifica l'espressione

2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado a, b e c

3. Inserisci questi coefficienti nella formula di secondo grado

4. Semplifica la radice quadrata (8)

5. Risolvi l'equazione per k

6. Calcola gli intervalli

7. Scegli l'intervallo corretto (soluzione)

Perché imparare questo

Termini e argomenti

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2. Determina i coefficienti della disequazione di secondo grado $a$ , $b$ e $c$

4. Semplifica la radice quadrata $\sqrt{(8)}$